Pozitif operatorlerin esleklerinin kendileri oldugunu gosterin.

Question

$\big(V,(\cdot,\cdot)\big)$ sonlu boyutlu bir ic carpim uzayi olsun. Eger $P\in End(V)$ her $v\in V-\{0\}$ icin $$(Pv,v)>0$$ esitsizligi saglaniyorsa $P$ operatorune pozitif denir. $P$ operatorunun esleginin kendisi oldugunu gosterin.

Comments

Hangi cisim üzerindeyiz? Bir de bu operatörlere Karşılık gelen matrisler cinsinden mi açıklamaya çalışacağız? 

---

@Handan $\mathbb{C}$ uzerinde olamayiz, degil mi? Zira $(Pv, v) > 0$ ifadesinin anlamli olmadigi zamanlar olabilir (Siralama).

@Safak Ozden her $v \in V \setminus \{ 0\}$ icin.

---

Neden $\Bbb{C}$ üzerinde olamayız, anlamadım  Özgür bey. Dönüşümü katsayıların eşleniğini alarak tanımlayabiliriz. Karşı örneğiniz var mı?

---

Soru $\mathbb{C}$ üzerinde. Nitekim o zaman anlamlı. Büyüktür sıfır demek, normalde karmaşık sayı olması gereken iççarpım reel oluyor demek. Bunu kullanarak özeşleniklik gösteriliyor zaten. Bu tip operatörler diğer operatörler içinde bir nevi karmaşık sayılar içindeki reel sayıların analoğu gibiler. Mesela pozitif karekökleri var.

---

Dogru. Pardon.

Answer 1

$P$ operatörünün eşleğini $P^{\star}$ ile gösterelim. Bu durumda $v\in V-\{0\}$ için $(Pv,v)=(v,Pv)=(v,P^{\star}v)$ buradan $(v,(P-P^{\star})v)=0$ ve $v\neq 0$ olduğundan $P=P^{\star}$ elde edilir.

Comments

Elde ettigimiz sey $(P-P^*)v$ 'nin $v$ 'ye ortogonal oldugu degil mi?

Eger bir $P$ operatoru her $v\in V$ icin, $Pv \perp v$ ozelligini sagliyorsa; o operator sifir olmak zorunda midir?

---

                                                  

---

Karmaşık sayılar üzerinde öyledir ama reel sayılar üzerinde öyle değildir. Düzlemde doksan derece döndürme işlemi sıfır operatörü değildir ve her şeyi kendisine dik olan bir vektöre götürür.

Ama burada başka bir sorun daha var. $(Pv,v)=(v,Pv)=(v,P^*)$ yazaarken $P$'nin kendisinin eşleniği olduğu kullanılmış zaten. Oysa gösterilmesi gereken o.

---

@Safak Ozden, ilk paragraf icin katiliyorum. Benim de kafam o yuzden karisti.

Ikinci paragraf icin katilmiyorum. $(Pv, v)$'nin reel oldugu ve ic carpimin simetrik oldugu kullaniliyor sadece.

---

Evet haklısın.

---

İlk olarak hangi cisim üzerinde demiştim: karmaşık Sayılar cismi. İkinci olarak iç çarpımın simetri özelliğinden yararlandığım doğrudur. 

---

Ben bu sonucu karmasik sayilar icin de bilmiyordum :( Ama cikarttim simdi. Tesekkurler!