Question

$y=x^2$ eğrisine üzerindeki $A(k,k^2)$ noktasından bir teğet çiziliyor.Bu eğri,teğet ve y ekseni arasında kalan bölgenin alanı $\frac{14}3$ olduğuna göre $k$ nedir?

Answer 1

$y=x^2$ parabolüne $A(k,k^2)$ noktasından  çizilen teğetin eğimi:$m=2k$ dır. Bu teğetin denklemi $y-k^2=2k(x-k)$ olup teğetin $y$ eksenini kestiği nokta $B(0,-k^2)$ dir. Verilen alan :

$\frac{2.k^2.k}{2}-\int_0^k \sqrt ydy=\frac{14}{3}$ dır. $k^2-\frac{2k^{\frac 32}}{3}=\frac{14}{3}$ buradan $3k^3-2k^{\frac32}=14$ olur. Eğer $k^{\frac 32} =a$ denirse, $3a^2-2a-14=0$ denkleminin kökleri $a=\frac{1\mp\sqrt{43}}{3}$ olacaktır. Buradan da $k=\left[\frac{1\mp\sqrt43}{3}\right]^{\frac 23}$ olur. İşlemlerin kontrolünü size bırakıyorum.

Answer 2

Parabolün bir kere türevini alır ve yerine k yazarsak eğimi buluruz.
$y=x^2$ ise $y'=2x$ Türev olur.Eğim Teğet=2k gelir.
Teğetin Denklemi=$y-k^2=2k.(x-k)$
$y=2kx-k^2$ gelir.
Buradan $x=\frac{k^2+y}{2k}$ gelir.
Parabol içinse $x=\sqrt{y}$ gelir.
$\frac{k^2+y}{2k}=\sqrt{y}$ denklemiden $y=k^2$ için parabol ve doğru kesişir.
O zaman İntegral.
$\int_{0}^{k^2} \sqrt{y}-\frac{y+k^2}{2k} dy=\frac{14}{3}$ ise.
$\frac{2k^3}{3}+\frac{k^3}{2}=\frac{14}{3}$
'den
$k^3=4$ gelir.