Üçgende açı

Question

Bir $ABC$ ikizkenar dik üçgeninde $|AB|=|AC|$'dir. $[BC]$ üzerinde $D$ ve $E$ noktaları $|BD|:|DE|:|EC|=1:2:\sqrt{3}$ olacak şekilde işaretleniyor. Buna göre, $m(\widehat{DAE})$ kaçtır?

Bakalım güzel çözümler çıkacak mı?

Answer 1

$|AB|=|AC|=a$ olsun. O zaman $|BC|=a\sqrt2$ olur. Diğer taraftan $|BD|=k$ ise $|DE|=2k, |EC|=\sqrt3k$ olacaktır.  Yani $a\sqrt2=(3+\sqrt3)k \Rightarrow a=\frac{(3+\sqrt3).k}{\sqrt2}......(1)$

dir. Şimdi sırası ile $ABD$ ve $ACE$ üçgenlerinde kosinüs teoremini uygularsak;

$|AD|^2=a^2+k^2-2ak\frac{\sqrt2}{2}....................(2)$ 

$|AE|^2=a^2+3k^2-2a.k.\frac{\sqrt3.\sqrt2}{2}...............(3)$ olur. Eğer $(1)$ eşitliği $(2),(3)$ de kullanılırsa 

$|AD|=(1+\sqrt3).k.......................(4)$ ve $|AE|=\sqrt6.k.............................(5)$ olurlar. Son bir kez de $ADE$ üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa,

$4k^2=6k^2+(1\sqrt3)^2.k^2-2.\sqrt6k.(1+\sqrt3).k.cos(DAE)$ den $cos(DAE)= \frac{1}{\sqrt2}$ ve  $m(DAE)=45$ derece olacaktır.