Elips

Question

$a^2x^2+b^2y^2=a^2b^2$ eşitliğiyle verilen elipse, birinci bölgede çizilen teğetinin eksenlerle arasında kalan bölgenin minimum olduğu durumda, teğetin denklemini bulunuz.

Answer 1

Elips üzerinde keyfî bir $(X,Y)$ noktası alalım. Tabî ki $X, Y >0$ sağlanır. Bu nokta aynı zamanda elipsin de elemanı olduğundan $a^2X^2+b^2Y^2=a^2b^2$ bağıntısı da geçerlidir.

Şimdi bu noktadaki teğetin eğimini bulalım. Bunun için elips denklemini $x$'e göre kapalı şekilde türetirsek, $$2a^2x+2b^2yy'=0$$ elde edilir. Buradan $$y'(x,y)=-\frac{a^2x}{b^2y}$$ elde edilir. $x=X$ ve $y=Y$ koyarsak $(X,Y)$ noktasındaki teğetin eğimi $$y'(X,Y)=-\frac{a^2X}{b^2Y}$$ bulunur. Şimdi teğet doğrusunun denklemini kurabiliriz: $$y=-\frac{a^2X}{b^2Y}x+n.$$ $n$ sayısını bulmak kolaydır. Bu doğrunun $(X,Y)$ noktasından geçtiği hatırlanırsa, $$Y=-\frac{a^2X^2}{b^2Y}+n\Rightarrow n=Y+\frac{a^2X^2}{b^2Y}=\frac{a^2X^2+b^2Y^2}{b^2Y}=\frac{a^2}{Y}$$ gibi basit bir ifâde elde edilir. Sonuçta teğet denklemi düzenlenirse $$y=-\frac{a^2}{Y}\left(\frac{X}{b^2}x-1\right)$$ olarak bulunur. Şimdi bu denklemden diküçgenin dik kenar uzunluklarını $(x_0,y_0)$ bulup alan $A(X,Y)$ ifâdesine ulaşacağız. Bu kısmı hızlıca yapacağız. Adımları incelemek faydalı olacaktır. $$x_0=\frac{b^2}{X}, \hspace{10px}y_0=\frac{a^2}{Y} \Rightarrow A(X,Y)=\frac{a^2b^2}{2XY}$$ Tabî ki bu ifâde $f(X,Y)=a^2X^2+b^2Y^2-a^2b^2=0$ bağşartıyla berâber çözülmelidir. Diğer bir yol, bu denklemden $Y(X)$'i veyâ tersini çekip $A(X,Y)$'de koyup direkt olarak tek değişken üzerinden minimize etmektir. İkincisi daha pratiktir. $$Y(X)=a\sqrt{1-\frac{X^2}{b^2}}\Rightarrow A(X)=\frac{ab^2}{2X\sqrt{1-\frac{X^2}{b^2}}}=\frac{ab^2}{2\sqrt{X^2-\frac{X^4}{b^2}}}$$ Artık $A(X,Y(X))=A(X)$'i gözümüz kapalı minimize edebiliriz! Burasını da hızlıca yapacağız. $$A'(X)=-\frac{ab^2}{2}\frac{X-\frac{2X^3}{b^2}}{(X^2-\frac{X^4}{b^2})^{3/2}}=0\Rightarrow X_{kr.}=\frac{b}{\sqrt 2}$$ Bu değer teğet denkleminde yerine konursa, $$y=-\frac{a}{b}x+a\sqrt{2}$$ bulunur. Bu teğete takâbül eden alan $A(X_{kr.})=ab$ olarak bulunur. Bu ise birinci çeyrekte elipsi içeren enküçük dikdörtgenin alanıdır.

Aşağıdaki resimdeki diküçgen ve dikdörtgenin alanları eşittir. Ayrıca bu üçgenin alanı tüm elipsin alanının $\pi$'de biridir. 

Answer 2

Yasin Şale bu sorunun standart Analiz çözümünü gayet güzel yazmış

Başka geometrik bir çözüm:(http://matkafasi.com/15399/elips#a15715 sorusundaki geometrik çözümümün hemen hemen aynısı)

$x'=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\, x  ,\  y'=\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\, y$ lineer dönüşümü determinantı 1 olduğundan alanları değiştirmez.

Bu dönüşüm, bu elipsi, yarıçapı $\sqrt{ab}$, merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktası olan  çembere, eksenleri kendilerine, diğer doğruları da yine  doğrulara dönüştürür. Elipse teğet doğruları çembere teğet doğrulara dönüştürür. (Bunlara hemen inanmayıp kontrol etmekte yarar var!)

Aynı sorunun çember için cevabı çok kolay (Basit trigonometri ile bulunabilir siz yapın!) :Eğimi $-1$ olan (Birinci çeyrekteki )$\left(\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt2},\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt2}\right)$ den geçen aşağıdaki denkleme sahip teğet en küçük (ikizkenar dik)  üçgeni oluştur

$$y'-\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt2}=-1\left(x'-\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt2}\right)$$ (cevabı bulmak için bu denkleme bile gerek yok)

$x'=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\, x  ,\  y'=\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\, y$ yazılarak elips için en küçük alanlı üçgeni oluşturan (elipsin) teğetin denklemi bulunur. 

(en küçük) Üçgenin alanı da, çember durumunda bulunan alan ile aynı olacağı için, oldukça kolay bulunabilir.