$ax+by+cz$ fonksiyonunun $x^2+y^2+z^2=r^2$ uzerindeki maksimum ve minimum degerini bulunuz.

Question

$a,b,c,r\in \mathbb R$ ve $r>0$ olmak uzere $ax+by+cz$ fonksiyonunun $x^2+y^2+z^2=r^2$ uzerindeki maksimum ve minimum degerini bulunuz.

Answer 1

Cauchy schvartz esitsizligi bulunabilir

$(ax+by+cz)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2}).(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Burqdan 

$|(ax+by+cz)|\leq(\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2}).(r^{2})}$

Sondaki koklu ifadeye $T$ bastaki fonkaiyona $f$  dersek

$-T \leq f \leq T$ artik max min degerleri bulundu

Answer 2

lagrange çarpanlarını (bu arada türkçeye ben çevirmiştim :) ) kullanarak çözmek için, 

$g\left( x\right) =ax+by+cz$ ve $f(x)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}$

diyelim

$\nabla g=\lambda \nabla f$

yani, $(a,b,c)=\lambda(2x,2y,2z)$ 

buradan $x$,$y$ ve $z$ yi lamda ve sabit cinsinden çekip, kısıtlama getiren denklemde yerine yazarsak,

$\overline {+} \dfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}} {2r}=\lambda$ 

ve max. ve min. için, 

$a=2 \lambda x$

$b=2 \lambda y$

$c=2 \lambda z$

bulduğumuz lamda'yı yerlerine koyarsak, ve istediğimiz hale getirirsek fonksiyonumuzu, $a$'yı $x$ gibi, çözümleri bulmuş oluruz