$\sum_{n=2}^\infty\:\frac{\zeta(n)}{k^n}$ serisini hesaplayın

Question

$\zeta(s)$ zeta fonksiyonu olmak üzere :

$$\sum_{n=2}^\infty\:\frac{\zeta(n)}{k^n}\\\:\\|k|>1$$

Serisini hesaplayın.

Answer 1

Serimiz :

$$\sum_{n=2}^\infty\:\frac{\zeta(n)}{k^n}$$

Zeta fonksiyonunu integral ile yazalım.Bunun için buraya bakabilirsiniz.

$$\sum_{n=2}^\infty\:\frac{1}{k^n}\,\frac{1}{\Gamma(n)}\int_0^\infty\:\frac{u^{n-1}}{e^u-1}\:du$$

Sadeleştirelim.

$$\int_0^\infty\:\frac{1}{u(e^u-1)}\:\sum_{n=2}^\infty\frac{(u/k)^n}{(n-1)!}\:du$$

Seriyi , $e^x$ fonksiyonunun taylor açılımı ile bulabiliriz.

$$\frac{1}{k}\int_0^\infty\:\frac{e^{u/k}-1}{e^u-1}\:\:du$$

$x=e^{-u}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$-\frac{1}{k}\int_0^1\:\frac{1-x^{-1/k}}{1-x}\:\:dx$$

İntegrali digama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\sum_{n=2}^\infty\:\frac{\zeta(n)}{k^n}=-\frac{1}{k}\Bigg[\gamma+\psi\bigg(1-\frac{1}{k}\bigg)\Bigg]\:\:\:,\:\:\:|k|>1}}$$