L'Hôpital Kuralı (Basit Şekli);
f(a)=g(a)=0 olduğunu , f′(a) ve g′(a) 'nın var olduğunu ve g′(a)≠0 olduğunu varsayın.
Bu durumda, limx→af(x)g(x)=f′(a)g′(a) olur.
İspatı:
Kendileri de limitle gösterilen f′(a) ve g′(a) 'dan tersine matematik yaparsak,
f′(a)g′(a)=limx→af(x)−f(a)x−alimx→ag(x)−g(a)x−a=limx→af(x)−f(a)x−ag(x)−g(a)x−a
=limx→af(x)−f(a)g(x)−g(a)=limx→af(x)−0⏞f(a)g(x)−g(a)⏟0=limx→af(x)g(x)
−−−−−−−−−−−−−−−−
L'Hôpital Kuralı (Daha kuvvetli hali):
f(a)=g(a)=0 olduğunu , f ile g'nin a noktasını içeren bir I açık aralığında türevlenebilir olduklarını varsayın.Ayrıca x≠a ise ,I'da g′(x)≠0 olduğunu varsayın.Bu durumda ,sağdaki limitin var olması koşuluyla,
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x) olur.
⋆−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⋆
Cauchy Ortalama Değer Teoremi:
f ve g fonskiyonlarının [a,b] aralığında sürekli ,(a,b) 'de türevlenebilir olduklarını ve ayrıca (a,b)'de g′(x)≠0 olduğunu varsayın.Bu durumda ,(a,b)'de ;
f′(c)g′(c)=f(b)−f(a)g(b)−g(a) olacak şekilde bir c sayısı bulunur.
⋆−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⋆
Cauchy'nin ispatı:
g′(c)≠0 olduğundan , g′(c)=g(b)−g(a)b−a≠0 yani,g(a)≠g(b) dir.
F fonksiyonu yaratmak istiyoruz ve burada rolle teoremi,yani ortalama değer teoremini kullanmak istiyoruz,
Yani bize F(a)=F(b) olacak dolayısıyla F′(c)=0 'ı sağlayacak bir fonksiyon lazım,"(a,b)" aralığı hala kafanıza canlana-dursun.
F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)(g(x)−g(a))
F fonksiyonu f ve g ile ortak bölgelerde türevlenebilirdir. Şimdi türev alalım,
F′(c)=0=f′(x)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)(g′(c)) olur yani,
f′(c)g′(c)=f(b)−f(a)g(b)−g(a) , durumunu elde ederiz bu da zaten istediğimiz şey idi,Q.E.D. . ◻
⋆−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⋆
L'Hôpital Kuralı :Daha kuvvetli hali'nin ispatı:
Murad hocanın tanımlarını verdiği ,x→a+ için yapalım,
x'in a'nın sağında bulunduğunu varsayın.Bu durumda g′(x)≠0 olur ve a'dan x'e kadar olan kapalı aralıkta "Cauchy O.D. Teoremi"ni uygulayabiliriz.Bu adım, a ile x arasında ,
f′(c)g′(c)=f(x)−f(a)g(x)−g(a) olacak şekilde bir c sayısını sağlar.f(a)=g(a)=0 olduğundan dolayı,
f′(c)g′(c)=f(x)g(x) olur, x , a'ya yaklaşırken ,c de a'ya yaklaşır , çünki c, x ile a arasındadır.Böylece ;
limx→a+f(x)g(x)=limc→a+f′(c)g′(c)=limx→a+f′(x)g′(x) olur.Bu l'hôpital kuralını x'in a'ya sağdan yaklaştığı durum için doğrular. x 'in a'ya soldan yaklaşımı için;
x→a− için yapalım,
x'in a'nın solunda bulunduğunu varsayın.Bu durumda g′(x)≠0 olur ve a'dan x'e kadar olan kapalı aralıkta "Cauchy O.D. Teoremi"ni uygulayabiliriz.Bu adım, a ile x arasında ,
f′(c)g′(c)=f(x)−f(a)g(x)−g(a) olacak şekilde bir c sayısını sağlar.f(a)=g(a)=0 olduğundan dolayı,
f′(c)g′(c)=f(x)g(x) olur, x , a'ya yaklaşırken ,c de a'ya yaklaşır , çünki c, x ile a arasındadır.Böylece ;
limx→a−f(x)g(x)=limc→a−f′(c)g′(c)=limx→a−f′(x)g′(x) olur. 2 sonucu da birleştirir isek,
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x) ispatlanır. Q.E.D. ◻