Question

$$\int_0^\infty\:\frac{x^{-8/9}}{x^{10/9}+5^{5/9}}\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2+(x^8.5^5)^{1/9}}dx$$  Eğer $x=t^9$ alınırsa $9t^8.dt=dx$ ve

$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{18}+(5^{5/9}).t^{8}}.9.t^8dt =9\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{10}+5^{5/9}}dt $$ Bundan sonrası biraz zor ve uzun da olsa belki çözülebilir diye düşünüyorum.

Comments

$(t^{10}+5^{5/9})^{-1}=u$ şeklinde değişken değiştirerek devam edebilirsiniz.

Answer 2

İntegralimiz :

$$\int_0^\infty\:\frac{x^{-8/9}}{x^{10/9}+5^{5/9}}\:dx$$

Buradaki eşitlikte $n$ yerine $\frac{1}{9}$ , $m$ yerine $\frac{10}{9}$ ve $s$ yerinede $5^{\frac{5}{9}}$ verelim.

$$\int_0^\infty\:\frac{x^{n-1}}{x^m+s}\:dx=\frac{s^{\frac{n}{m}-1}\,\pi}{m}\csc\bigg(\frac{n\pi}{m}\bigg)$$

$$\int_0^\infty\:\frac{x^{-8/9}}{x^{10/9}+5^{5/9}}\:dx=\frac{9\pi}{2.5^{3/2}}\csc\bigg(\frac{\pi}{10}\bigg)$$

$\csc(\frac{\pi}{10})=2\phi$ olduğunu biliyoruz.($\phi\to$ altın oran)

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^\infty\:\frac{x^{-8/9}}{x^{10/9}+5^{5/9}}\:dx=\frac{9\pi\phi}{5^{3/2}}\approx4,09190003}}$$