Boş küme, bir konveks küme midir?

Question

Boş küme konveks küme midir?

Comments

    Nokta kümeleri için konvekslik tanımı:"Herhangi bir kümeye ait her nokta çiftini birleştiren doğru parçası daima kümeye ait oluyorsa bu kümeye konveks küme denir" şeklindedir. Dolayısıyla kümeye ait olmayan her nokta çiftini birleştiren doğru parçası da kümeye ait olmaz. 

    Bunun dışında çokgenlerin konveksliği ve eğrilerin konveksliği gibi (ayrıca bilmediğim başka konvekslikler) söz konusudur. Son ikisinin tanımının bu tanımdan  farklı olduğunu sanıyorum.

 Şimdi bu tanıma göre boş kümeye ait olmayan daima iki nokta vardır. ve bu iki noktanın birleştirilmesinden oluşan doğru parçası da boş kümeye ait olmaz. Yani boş küme konvekstir.

Answer 1

$L:=[(L,\oplus),\odot, (\mathbb{R},+,\cdot)]$ lineer uzay ve $A\subseteq L$ olsun.

$$A, \text{ konveks}$$ $$:\Leftrightarrow$$ $$(\forall x,y\in A)(\forall \alpha\in [0,1])(\alpha\odot x\oplus (1+(-\alpha))\odot y\in A))$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\forall x,y\ \forall \alpha \ [(x,y\in A)(\alpha\in [0,1])\Rightarrow \alpha\odot x\oplus (1+(-\alpha))\odot y\in A)]$$
O halde

$$\forall x,y \ \forall \alpha \ [\underset{0}{\underbrace{(x,y\in \emptyset)}}\underset{p}{\underbrace{(\alpha\in [0,1])}}\Rightarrow \underset{0}{\underbrace{\alpha\odot x\oplus (1+(-\alpha))\odot y\in \emptyset)}}]\equiv 1$$ yani önerme doğru olduğundan $\emptyset$ konveks bir kümedir.