$End L(X)$ halkasinin elemanlarina dair

Question

$A:L(X)\longrightarrow L(X)$ dogrusal bir fonksiyon olsun. Bu durumda $a(x,y):=(A\delta_y)(x)$ karmasik sayisinin $A\delta_y\in L(X)$ elemaninin $\{\delta_x:x\in X\}$ bazina gore aciliminda $\delta_x$'in katsayisi oldugunu gosteriniz. Bunu kullarak da herhangi bir $f\in L(X)$ fonksiyonu  icin $Af$ fonksiyonunun $x\in X$ noktasindaki degerinin su sekilde hesaplanabilecegini gosterin: $$[Af](x)=\sum_{y\in X}a(x,y)f(y)$$

Tanimlar icin: http://matkafasi.com/19499/fonksiyon-uzayi

Answer 1

$A\delta_y=\sum_{v \in X}a_v\delta_v$ olsun. Bu sekilde yazabiliriz cunku $\delta_v$'ler bu fonksiyonlar icin bir baz.

Bu durumda $a(x,y)=A\delta_y(x)=(\sum_{v \in X}a_v\delta_v)(x)=\sum_{v \in X}a_v\delta_v(x)=a_x.$

Simdi $f \in L(X)$ olsun. Biliyoruz ki $\delta_y$'ler bu fonksiyonlar icin bir baz ve $f=\sum_{y \in X}f(y)\delta_y$ seklinde yazilabilir. Bu durumda $$ [Af](x)=[A(\sum_{y \in X}f(y)\delta_y)](x)=\sum_{y \in X}f(y)[A\delta_y](x)=\sum_{y \in X}f(y)a(x,y)$$ olur.

Not: Yukaridaki esitliklerde 2.'den 3.'ye gecerken $A$'nin lineer olmasini ve $f(y)$'lerin $\mathbb C$'nin eleman olmaini kullandik.  Aslinda $\mathbb C$ uzerinde $End$ halkasi bir moduldur.