Fonksiyon uzayı

Question

$X$ sonlu bir küme $L(X)$ de bu küme üzerinde tanımlı $\mathbb{C}$ değerli fonksiyonların kümesi olsun. $L(X)$ kümesinin bir $\mathbb{C}$-vektör uzayı olduğunu gösterin ve bir bazını bulun.

Comments

$|X|<\mathcal{N}_0, \,\ L(X):=\{f|f:X\rightarrow \mathbb{C} \text{ fonksiyon}\}$, 

$\oplus:L(X)\times L(X)\rightarrow L(X), \,\ \oplus (f,g)=f\oplus g,\,\ (f\oplus g)(x):=f(x)+g(x)$

$\odot:\mathbb{C}\times L(X)\rightarrow L(X), \,\ \odot (\lambda,f)=\lambda \odot f, \,\ (\lambda \odot f)(x):=\lambda \cdot f(x)$

olmak üzere $[(L(X),\oplus),\odot, (\mathbb{C},+,\cdot)]$ cebirsel yapısının bir lineer uzay olduğu ve bu lineer uzayın bir bazı isteniyor. Doğru mudur? 

---

Doğrudur.      

Answer 1

Genel olarak herhangi bir kumeden uzerinde islem olan bir yapiya giden fonksiyonlar kumesinde, sozu edilen islem araciligiyla, bir islem tanimlanabilir. Bu islem koordinat koordinat carpma diye de tabir edilen, goruntulerin isleme sokulmasiyla tanimlanir. Guzelce yazayim:

$f:X\longrightarrow Y$ bicimindeki fonksiyonlari alalim ve diyelim ki $Y$ uzerinde $\cdot$ biciminde gosterdigimiz bir ikili islem olsun. Bu durumda bu sozu edilen fonksiyonlar uzerinde su sekilde bir islem tanimlanabilir: $$\big(f\cdot g\big)(x):=f(x)\cdot g(x)$$

Sorudaki $L(X)$ kumesi uzerindeki toplama boyle tanimlanir. Skaler carpma da benzer bicimde, goruntuyu carparak elde edilir. 

Bir baz: Pek cok baz verilebilir. Ben bir baz ornegi vereyim, ilgilenen kisiler bu bazi nereden buldugumu ve baska nasil bazlar bulunabilecegini dusunsuler bence: $x\in X$ icin $\delta_x$ ile $\{x\}$ kumesinin karakteristik (yani bu kumeden elemanlarda, baska bir deyisle $x$'te, $1$ degerini alan, diger elemanlarda sifir degerini alan) fonksiyonu olsun. Bu durumda $\{\delta_x:x\in X\}$ kumesi $L(X)$ icin bir baz olusturur.