Bir patika her zaman [0,1] aralığının bir bölüm uzayına homeomorfik midir?

Question

Daha açık ifade etmek gerekirse:
$I:=[0,1]$ olarak not edelim. $X$ bir topolojik uzay ve $\alpha:I \to X$ bir patika olsun (yani sürekli bir fonksiyon). $S:=\alpha(I)$, $\alpha$'nın, $X$ içerisindeki görüntüsü olsun. $I$ uzayını, "$\alpha$ altında aynı görüntüye sahip olmak" denklik bağıntısına göre bölelim (yani: t $\sim$ t' durumu sadece ve sadece $\alpha(t)=\alpha(t')$ durumunda gerçekleşiyor). Şimdi, bölüm uzayından $X$'e, birebir ve  görüntüsü $S$ olan yegâne fonksiyon otomatikman sürekli olur. Bu fonksiyon ne zaman bir homeomorfizmadır?

Answer 1

Sorduğunuz soru, eğer yanlış anlamadıysam, patikalardan çok sürekli eşlemelerin ne zaman homeomorfizma olduğuyla ilgili gibi duruyor.

Tıkız bir uzaydan Hausdorff bir uzaya sürekli bir eşleme homeomorfizmadır. Dolayısıyla $X$ Hausdorff bir uzaysa, alt uzay topolojisiyle $S$ de Hausdorffdur ve bölüm uzayından $S$'ye olan sürekli bir eşleme homeomorfizma olmak zorunda kalır zira tıkız bir uzayın bölümü de tıkızdır.

Bunun sadece yeterli değil gerekli bir koşul olduğunu görmek için bölünmemiş topoloji (indiscrete topology) ile donatılmış $X=[0,1]$ uzayını alıp standart topolojisiyle donatılmış $[0,1]$ aralığından $X$'e birim fonksiyona bakın. Bu fonksiyon sürekli bir eşlemedir ancak bir homeomorfizma değildir.

Comments

Evet haklısınız, tıkız bir uzaydan Haussdorf bir uzaya her terslenebilir sürekli fonksiyonun homeomorfizma olduğunu kullanarak oluyor.