Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
3.2k kez görüntülendi

x,y,z gerçel sayıları, x+y+z=1 ve xyz=xy+yz+zx koşullarını sağlıyorsa, (x+yz).(y+zx).(z+xy) ifadesi 0,1,2,5 sayılarından kaçına eşit olabilir?
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4


Not=2015 Tübitak matematik olimpiyatları 31 soru.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 3.2k kez görüntülendi

4/27 den küçük eşit çıkıyor. (şıklardan b) Benim çözümümüm uzun ve sadece işlem olduğu için başka bir çözüm çıkmassa atabilirim

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Daha kısa olduğu için bu çözümü yazıyorum aslında daha net ulaşılan çözümleri var:

$(x+yz)(y+xz)(z+yx)\le (\frac{x+y+z+xy+yz+xz}{3})^3$ ve $xyz\le(\frac{x+y+z}{3})^3=1/27$ her ikiside $G.O \le A.O$ soruda $xy+yz+xz=xyz$ verildiği için cevabın 1 den küçük bir sayı olması gerektiği görülüyor

(1.8k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Çok yardımcı oldunuz, sağolun.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$x+y+z=1$ ise $x+y=1-z$ olmalıdır. $xyz=xy+yz+zx$ koşulu sağlanıyorsa $xyz-xy=xy(z-1)=z(x+y)$ ifadesi de doğrudur. $x+y=1-z$ ise $xy(z-1)=z(1-z)$ olur. Sadeleşince $xy=-z$ ve oradan da $z+xy=0$ olduğu görülür. O halde $(x+yz)(y+zx)(z+xy)=0$ olmalıdır. Yani cevap B şıkkıdır.

(2.9k puan) tarafından 

Neden herkes eşitsizlikten yapmaya çalışmış eşitliğimde bir sorun mu var iki kez çözdüm soruyu ikisi de doğruydu.

Sorunun genel çözümünü yapabilmek için tabi ki.Sizin eşitliğiniz sadece bir sonucun olabileceğini gösteriyor ama aynı zamanda diğer 3 sonucun neden olamayacağınıda gostermeliyiz ki sonuçun 1 olduğunu soyleyebilelim.Yine de teşekkürler hocam.

20,204 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,917 kullanıcı