$x,y,z$ gerçel sayıları, $x+y+z=1$ ve $xyz=xy+yz+zx$ koşullarını sağlıyorsa, $(x+yz)\cdot(y+zx)\cdot(z+xy)$ ifadesi 0,1,2,5 sayılarından kaçına eşit olabilir?

Question

x,y,z gerçel sayıları, x+y+z=1 ve xyz=xy+yz+zx koşullarını sağlıyorsa, (x+yz).(y+zx).(z+xy) ifadesi 0,1,2,5 sayılarından kaçına eşit olabilir?
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

Not=2015 Tübitak matematik olimpiyatları 31 soru.

Comments

4/27 den küçük eşit çıkıyor. (şıklardan b) Benim çözümümüm uzun ve sadece işlem olduğu için başka bir çözüm çıkmassa atabilirim

Answer 1

Daha kısa olduğu için bu çözümü yazıyorum aslında daha net ulaşılan çözümleri var:

$(x+yz)(y+xz)(z+yx)\le (\frac{x+y+z+xy+yz+xz}{3})^3$ ve $xyz\le(\frac{x+y+z}{3})^3=1/27$ her ikiside $G.O \le A.O$ soruda $xy+yz+xz=xyz$ verildiği için cevabın 1 den küçük bir sayı olması gerektiği görülüyor

Comments

Çok yardımcı oldunuz, sağolun.

Answer 2

$x+y+z=1$ ise $x+y=1-z$ olmalıdır. $xyz=xy+yz+zx$ koşulu sağlanıyorsa $xyz-xy=xy(z-1)=z(x+y)$ ifadesi de doğrudur. $x+y=1-z$ ise $xy(z-1)=z(1-z)$ olur. Sadeleşince $xy=-z$ ve oradan da $z+xy=0$ olduğu görülür. O halde $(x+yz)(y+zx)(z+xy)=0$ olmalıdır. Yani cevap B şıkkıdır.

Comments

Neden herkes eşitsizlikten yapmaya çalışmış eşitliğimde bir sorun mu var iki kez çözdüm soruyu ikisi de doğruydu.

---

Sorunun genel çözümünü yapabilmek için tabi ki.Sizin eşitliğiniz sadece bir sonucun olabileceğini gösteriyor ama aynı zamanda diğer 3 sonucun neden olamayacağınıda gostermeliyiz ki sonuçun 1 olduğunu soyleyebilelim.Yine de teşekkürler hocam.