Question

$\int \frac{1}{x+x\sqrt{x}} dx$=?

Answer 1

$$\frac{1}{x+x\sqrt{x}}=\frac{1-\sqrt{x}}{x(1-x)}$$ olduğundan $$\int\frac{dx}{x+x\sqrt{x}}=\int\frac{dx}{x(1-x)}-\int\frac{dx}{\sqrt{x}(1-x)}=$$ $$\int(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x})dx-\int\frac{dx}{\sqrt{x}(1-x)}$$ olur. Buradan itibaren $u=\sqrt{x}$ değişken değiştirmesi yapılırsa $$\int\frac{dx}{\sqrt{x}(1-x)}=2\int\frac{du}{1-u^{2}}=\ln\mid 1+u\mid-\ln\mid 1-u\mid +C=$$ $$\ln\mid 1+\sqrt{x}\mid-\ln\mid 1-\sqrt{x}\mid +C$$ elde edilir. Buradan da $$\int\frac{dx}{x+x\sqrt{x}}=\ln\mid x\mid-\ln\mid 1-x\mid-\ln\mid 1+\sqrt{x}\mid+\ln\mid 1-\sqrt{x}\mid +C$$ olarak bulunur.