Yazım şekli notu: görüntü kümesi $gör(A):=\{A\psi:\psi\in böl(A)\}$ ve birim işlemcisi $1\!\!1$'leri yazmayı atlıyorum ama siz var olduğunu aklınızda bulundurun.
Kanıt: A özeşlenikmiş $\Rightarrow$ yani $böl(A)\subset_{yoğun}\mathcal{H}$ ve $A$ simetrik şartları sağlandığından özeşleniklik üzerine temel teoremi kullanabiliriz, buna göre eğer A özeşlenik ise, $gör(A\pm i)=\mathcal{H}$'dir. Ayrıca
$\parallel (A\pm\lambda i)\psi\parallel^2=\parallel A \psi\parallel^2+\lambda^2\parallel \psi\parallel^2$ (1)
geçerlidir.
Gene A'nın özeşlenikliğinden $\lambda\in\mathbb{R}$ için $gör(A\pm i\lambda)=\mathcal{H}$ olduğunu biliyoruz, yani $\lambda\neq 0$ ise
$\parallel (A\pm i\lambda)^{-1}\parallel\leq \frac{1}{\vert \lambda\vert}$ (2)
Şimdi $böl(A)$ üzerinde $A+B$ işlemcisinin özeşlenik olduğunu kanıtlayalım (bölge seçiminde sorun yok çünkü $böl(A)\subset böl(B)$).
$A+B\pm\lambda i=(B(A\pm i\lambda)^{-1}+1)(A\pm i\lambda)$.
Sorudaki (*)'a göre: $\parallel(B(A\pm i\lambda)^{-1}\psi\parallel\leq a\parallel A(A\pm i\lambda)^{-1}\psi\parallel+b\parallel((A\pm i\lambda)^{-1}\psi\parallel$
(1)$\Rightarrow\parallel A(A\pm i\lambda)^{-1}\psi\parallel\leq\parallel \psi\parallel$
(2)$\Rightarrow \parallel(A+i\lambda)^{-1}\parallel\leq\frac{b}{\vert\lambda\vert}$
yani $\parallel(B(A\pm i\lambda)^{-1}\psi\parallel\leq(a+\frac{b}{\vert\lambda\vert})\parallel \psi\parallel$, yeterince büyük bir $\lambda$ seçtiğimizde
$(a+\frac{b}{\vert\lambda\vert})<1$ geçerli olur.
Bu da demektir ki $(B(A\pm i\lambda)^{-1}+1)$ işlemcisi Neumann serisi (=$(1-(B(A\pm i\lambda)^{-1}+1))^{-1}$) aracılığıyla $\mathcal{H}$ üzerinde sınırlı bir ters işlemciye sahiptir.
Böylece $böl((B(A\pm i\lambda)^{-1}+1)(A\pm i\lambda))=\mathcal{H}$ olur ve $\lambda$'nın işareti hem pozitif hem de negatif olabilceği için $A+B$ işlemcisi özeşleniktir.
Örnek: Coulomb potensiyali için zamandan bağımsız Schrödinger denkleminde ( $H\psi=E\psi$) özeşlenik olmak zorunda olan Hamiltonyen işlemcisinin bölgesinin $böl(H)$ belirlenmesi.
$H: böl(H)\rightarrow L^2(\mathbb{R^3}),\psi\rightarrow H_0\psi+V\psi$;
$H_0=-\Delta:\textrm{H}^2(\mathbb{R^3})\rightarrow L^2(\mathbb{R^3}),\psi\rightarrow-\nabla\psi$;
$V=-\frac{1}{\vert x\vert}$
Hangi $böl(H)$ için $\forall\psi\in böl(H):$ $\parallel V\psi\parallel=\sqrt{\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{\vert x\vert^2}dx}<\infty$ ve $\sqrt{\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{\vert x\vert^2}\vert\psi(x)\vert^2dx}\leq a\sqrt{\int_{\mathbb{R}^3}{\vert -\Delta \psi\vert^2}dx}+b\sqrt{\int_{\mathbb{R}^3}\vert\psi(x)\vert^2dx}$
sağlanır diye bakarsak $böl(H)$'ü seçebiliriz.