Question

$1+\tan^2\alpha+\cot^2\alpha$ toplamı kaça eşit olabilir?

Answer 1

İfadeyi açalım.

$$1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}$$

Bütün ifadeyi toplayalım.

$$\frac{\sin^2(x)\cos^2(x)+\sin^4(x)+\cos^4(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}$$

Payı sadeleştirelim.

$$\frac{\big(sin^2(x)+\cos^2(x)\big)^2-\sin^2(x)\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}$$

$$\frac{1-\sin^2(x)\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}$$

Pay ve paydayı 4 ile çarpalım.

$$\frac{4-4\sin^2(x)\cos^2(x)}{4\sin^2(x)\cos^2(x)}$$

Sinüs için yarım açı formülünü kullanalım.

$$\frac{4-\sin^2(2x)}{\sin^2(2x)}$$

Sadeleştirelim.

$$4\csc^2(2x)-1$$

$csc^2(x)$ ifadesinin alabileceği değerler : $[1,\infty)$.

O halde $4\csc^2(2x)-1$ ifadesinin alabileceği değerler : $[3,\infty)$

Answer 2

Soru: $1+a^2+\frac 1{a^2}$ İfadesinin alabileceği değerler. Bun ifadenin $\geq3$ olduğu aşikar.

Bunu görmek için: $(a-\frac1a)^2+3$ formunda işlem yapmak ve $a>0$ için sürekli olduğunu bilmek yeterli.

Answer 3

 şunu biliyorsanız cevabın 3 ve 3 den büyük reel sayılar olduğu çıkıyor