$\sum \dfrac {a_{n}} {s_{n}}$'in ıraksak, $\sum \dfrac {a_{n}} {(s_{n})^2}$'nin yakınsak olduğunu gösterin.

Question

$s_n=a_1+a_2+...+a_n$ ise $\sum \dfrac {a_{n}} {s_{n}}$'in ıraksak, $\sum \dfrac {a_{n}} {(s_{n})^2}$'nin yakınsak olduğunu gösterin.

Öncelikle şunu söyleyeyim, hoca bazen ters köşe yapıp, olamayacağını kanıtlatmaya çalışabiliyor. Kendim neredeyse 1 aydır uğraşıyorum. Biraz inat ettim çözeceğim diye, kimseye sormak istemedim. Artık sormanın vakti geldi diye düşünüyorum. 1. sınıf, Reel Analiz sorusu arkadaşlar.

Answer 1

Öncelikle şunu belirtmek gerekir. Bu önerme sadece pozitif terimli ıraksak seriler için doğrudur. örneğin $a_{1}=-1$

ve $n\geq 2$ için $a_{n}=\left( -1\right) ^{n}2$ alacak olursa kolayca görüleceği gibi

 $\left\vert \frac{a_{n}}{s_{n}^{2}}\right\vert \rightarrow 2$ olur. O halde genel teriminin limiti sıfır olmadığı için $\sum \frac{a_{n}}{s_{n}^{2}}$ yakınsak olmaz. O halde her $n>0$ için $a_{n}>0$ olduğunu varsaymak gerekir. Örneğin $a_{n}=\frac{1}{n\left( n+1\right) }$ alacak olursak $s_{n}=\frac{n}{n+1}$ olacağından

$\sum \frac{a_{n}}{s_{n}}=\sum \frac{1}{n^{2}}$

yakınsak olur. Bu aksi örneklerden sonra önermenin doğrusunu ve hatta daha genelini yazalım. Bunun en genel şekli Dini Teoremi olarak bilinir.

Dini Teoremi

$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$  pozitif terimli ıraksak bir seri ve $\left(s_{n}\right) $ bu serinin kısmi toplamlar dizisi olsun. $p\in \mathbb{R}$ bir gerçel sayı olduğuna göre $\sum \frac{a_{n}}{s_{n}^{p}}$ serisi $p\leq 1$ için ıraksak ve $p>1$ için yakınsaktır.

Bu teoremin kanıtını örneğin Konrad Knopp'un "THEORY AND

APPLICATION OF INFINITE SERIES" kitabının &39, 173. kısımında

bulabilirsiniz.

Comments

Çok teşekkür ederim cevabınız için. Hemen kitaptan da bakacağım kanıta.

Answer 2

Iraksaklık kısmı için şu fikir verebilir. Ben $a_n\geq 0$ varsayımıyla çözeceğim. $\frac{x_n}{x_{n+1}}$ dizisinin sıfıra yakınsaması $\sum x_n$'in serisinin yakınsak olması için gereken şartlardan birisi. Bu şart sağlanmazsa serinin ıraksayacağı kesin. Şimdi bu bilgiyi ilk seriye uygulayınca sağlanması gereken şartın şu olduğu gözüküyor: $$\lim_{\substack{n\rightarrow \infty}} \Big(\frac{a_n}{a_1+\cdots+a_n}+\frac{a_n}{a_{n+1}}\Big)=0.$$ Sonrası için de bunun doğru olamayacağını göstermen gerekiyor. Eğer toplamaya giren iki parça da sıfırdan büyükse bu ikisinin birden sıfıra gitmesi gerektiğini söyler. Sonrası çelişkiyi bulmaya kalmış.

edit: ben de diyorum negatif olduğu zaman neden bitiremiyorum ispatı. Yusuf hoca örneği vermiş.

Comments

Çok teşekkür ederim yorumun için. Ben kendimi bir noktaya sınırladığım için göremedim heralde.