$(10,q)=1$ ise $q$ sayisi en az bir adet $n$ pozitif tam sayisi icin $10^n-1$'i boler.

Question

1) $(10,q)=1$ olsun. Gosteriniz: $q$ sayisi en az bir adet $n$ pozitif tam sayisi icin $10^n-1$'i boler.
2) $a$ pozitif tam sayisi icin $(a,q)=1$ olsun. Gosteriniz: $q$ sayisi en az bir adet $n$ pozitif tam sayisi icin $a^n-1$'i boler.


Ayrica soyle bir ispat yanlis olur: Bu sekilde sonsuz tane $10^n-1$ olacagindan elbet bir adetini boler.

Zaten bu bir ispat da degil, olmamasi tuhaf degil. Karsit ornek: $3$ sayisi hic bir $n$ pozitif tam sayisi icin $2^n$'i bolmez.

Comments

ilgili: http://matkafasi.com/5039/sadece-1-ve-0dan-olusan-bir-carpim

---

Ben de bu soruyu hatirladiydim da sorarken, ekleme firsatim olmamisti.

Answer 1

1) $(a,q)=1 $ olduğundan euler teoremi gereği $q=p_{i}^{q_i},i=1,2,...,p_i ler rasal$ 

$\phi{(q)}$ için  $a^{\phi{(q)}}-1=0mod(q)$

$n=\phi{(q)}$ için şart sağlanır.

Answer 2

$$(10,q)=1$$ den  $q$  sayısı $2,4,5,6,8$ sayılarını çarpan olarak bulunduran hiç bir sayıya tam bölünemez.  Aksi halde $(10,q)=1$ olmaz. O zaman $q$ için aşağıdaki durumlar sözkonusudur. 

1) $q=1$ ise, bu durum her n pozitif tamsayısı için doğrudur.

2) $q=3^k$ şeklinde ise ($k\in N^+, k\geq2$), O zaman $$10^n-1=0  mod(3^k)$$

$$9.(10^{n-1}+10^{n-2}+10^{n-3}+...+1)=0  mod(3^k)$$

$$3^2.(n-1)=0 mod(3^k)$$ eğer $$n-1=3^{k-2}$$  seçilirse istenen olur.

3)$q=7^k$ şeklinde ise, Euler Teoreminden dolayı $$10^{\phi(7^k)}-1=0 mod(7^k)$$ olacak ve $n=\phi(7^k)$ alınırsa istenen olur.

4) $ n=3^k.7^t$ şeklinde ise ($t\in N^+$) Bu durumda da  $\phi(3^k.7^t)=n$ alınması halıinde istenen gerçekleşir.

Answer 3

$10,10^2,10^3,\cdots,10^q$ sayilarindan iki tanesinin $q$'ya bolumunden kalan esit olmali. Bunlar $i,j$ osun ve $i<j$ olsun.

O zaman $q|10^j-10^i=10^i(10^{j-i}-1)$ olur ve de $(q,10)=1$ oldugundan $q|10^{j-i}-1$ olur.


Not: ilk basta kullanilan guvercin yuvasi prensibi.

Ayrica: Euler $\phi$ fonksiyonu bana pek ortaogretimsel gelmiyor, grup yapisiyla iliskili geliyor bana hep. Belki de benim ortaogretim seviyem dusuktur. Emin de degilim.

Answer 4

hiçbir $n$ için bölmesin. Bu durumda

                                                                            $1/q$

sayısı irrasyonel bir sayı olacaktır.

Comments

Neden irasyonel bir sayi olmali? 

---

Rasyonel olduğunu iddia edelim. O halde devir uzunluğu $d$ olmak üzere $d$ tane bölme adımdan sonra $1$  kalanına döneceğimiz barizdir. Tabi $d.$ bölme adımında $10^d$ yi $q$ ya bölerek $1$ kalanını elde ederiz. Çünkü sürekli $10$ la çarpa çarpa bölüyoruz. O zaman

                                                           $10^d - 1 = q.P$

olur. Ancak böyle bir $d$ tamsayının olmadığını varsaymıştık. Çelişki. Ayrıca buradaki $P$ , periyodun ta kendisidir. Örneğin

                                                            $1/7 = 0,142857...$

için

                                                          $10^6 - 1 = 7.142857$

---

Devirli oldugunu bunu ispatlamadan nasil bilebiliriz?

---

Onu hiç düşünmemiştim. Devirsizdir dersek irrasyonel olmaz mı ? Ya devirli olacak ya da devirsiz. İkisinden biri. Sonlu olamaz. Çünkü payda 10 un kuvveti şeklinde yazılamıyor.