$(f\circ f)(x)=f(x)$ koşulunu sağlayan $f$ lineer fonksiyonu için i.Birim fonksiyondur. ii.Sabit fonksiyondur. iii.Sıfır fonksiyonudur. önermelerinden hangisi veya hangileri doğru olabilir?

Question

(fοf)(x)=f(x) koşulunu sağlayan f lineer fonksiyonu için 

i.Birim fonksiyondur.

ii.Sabit fonksiyondur.

iii.Sıfır fonksiyonudur.

önermelerinden hangisi veya hangileri doğru olabilir?

Answer 1

Lineer fonksiyon ilki hariç diğer ikisi olamaz. Zira lineer olması için $f$, $a\not=0$ olmak üzere $ax+b$ şeklindedir.

Comments

birim fonksiyon neden olmasin? $f(x)=x$.

---

Doğrusun, düzeltelim hemen.

---

$x\longmapsto ax+b$ fonksiyonu nerredeyse hiçbir zaman lineer değil.

---

Sercan'ın aşağıdaki yorumunda yazdığı gibi $ax+b$'nin kasdedildiğini varsaydım. Sorunun kategorisi de buna bir etken idi.   

Answer 2

Tanım: $L_1:=\left[(L_1,\oplus_1),\odot_1,(F_1,+_1,\cdot_1)\right]$ ve $L_2:=\left[(L_2,\oplus_2),\odot_2,(F_2,+_2,\cdot_2)\right]$ herhangi iki lineer uzay ve $f:L_1\rightarrow L_2$ fonksiyon olmak üzere

$$f, \text{ lineer fonksiyon}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$ (\forall \alpha,\beta \in F_1)(\forall x,y\in L_1)(f(\alpha\odot_1 x\oplus_1 \beta \odot_1 y)=\alpha\odot_2 f (x)\oplus_2 \beta \odot_2 f(y)$$

Dolayısıyla $\mathbb{R}$ cismi üzerindeki (alışılmış işlemler ile) $\mathbb{R}$ lineer uzayını ele alırsak $\mathbb{R}$'den $\mathbb{R}$'ye lineer fonksiyonlar $a\in \mathbb{R}$ olmak üzere

$$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a\cdot x$$ şeklindedir. $a,b\in \mathbb{R}$ olmak üzere $$f(x)=a\cdot x +b$$ kuralı ile verilen

$$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu lineer değildir.

Şimdi tekrar soruya dönersek söz konusu koşulu sağlayan $f$ fonksiyonu birim fonksiyon  $(f(x)=x$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon$)$ olabilir, sabit fonksiyon $(f(x)=0$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon$)$ olabilir ve sıfır fonksiyonu $(f(x)=0$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon$)$ olabilir. Yani üçü de olabilir.

Comments

$ax+b$ otelenmis (afine) olsa da buna lineer diyorlar. Tarihcesine bi bakmak lazim.

Bu soru icin de kasdedilen $f(x)=ax+b$, $a\ne 0$ olmasi gerek.