Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 0 beğenilmeme
916 kez görüntülendi

A metin boyunca hep boş olmayan bir küme olsun.

Tanım: S(A):={f:Abirebir ve örtenA} kümesi bileşke  f,gS(A)  fg:=fg olarak tanımlanan grup işlemiyle birlikte bir grup oluşturur ve bu gruba simetrik grup denir. 
 
Tanım: G bir grup olsun. G'den A üzerine bir etki aşağıdaki özelliklere sahip Ψ:G×AA göndermesi olarak tanımlanır:
x,yG,aA:Ψ(e,a)=a    ve    Ψ(x,Ψ(y,a))=Ψ(xy,a).

O zaman G'ye A üzerindeki dönüşüm grubu denir. (G soldan -Ψ aracılığıyla- A üzerine etki eder.)

Not: Ψ ile tanımlanan Ψx:AA:aΨx(a):=Ψ(x,a) göndermesi xG için birebir ve örtendir, yani ΨxS(A)  xG. Bunun dışında ˜Ψ:GS(A),x˜Ψ(x):=Ψx bir grup homomorfizmasıdır.
Böylece bir A üzerinde bir dönüşüm grubu G'nin verilmesi bir ˜Ψ:GS(A) grup homomorfizmasını belirler: Her ϕ:GS(A) homomorfizması G'den A üzerine Ψ etkisinin doğal biçimde Ψ(x,a):=(ϕ(x))(a) ile tanımlanmasının önünü açar. (Yani ˜Ψ'nin Ψx'si bu Ψ(x,a) üzerinden anlamlandırılıyor.)

Tanım:
A üzerinde bir s yapısı olsun. Eğer A üzerindeki bir G dönüşüm grubunun ilgili Ψ etkisi s yapısını değiştirmiyorsa ('invariant' bırakıyorsa), G'ye simetri grubu ya da kısaca simetri denir. Bu ilgili birebir ve örten ψx:AA'nın s'yi değiştirmediği anlamına geliyor.

Yapıları daha bir elle tutulur hale getirebilmek için son bir
Tanım: Verilen bir s yapısının A üzerindeki dolu simetri grubu Mor(A):={f:Abirebir ve örtenA|f göndermesi s'yi değiştirmez} ile fMor(A),aA  Ψ(f,a):=f(a) etkisiyle tanımlanır. Mor; s yapısının tersinir morfizmaları (=yapı koruyan gönderme) grubunun kısaltmasıdır.

Not: Mor(A)S(A). Genel bir simetri ˜Ψ:GMor(A) grup homomorfizmasıyla verilmiş olur. Bu bağlamda bir yapı ile bir Mor(A)S(A) altgrubunun seçilmesiyle özdeşleştirebiliriz.

Not:
Her korunan yapıya ilişkin (çoğunlukla) ayrı bir (dolu) simetri (grubu) vardır.
cebirsel yapı (grup, halka, vektör uzayı,...) Otomorfizma  Aut(A) (örn.vektör uzayı vektör uzayı izomorfizması)
topolojik yapı   Homeomorfizma Homeo(A)
türevlenebilir yapı Difeomorfizma Diff(A)
geometrik yapı   (örn. metrik=iki nokta arasındaki uzunluk İsometri Isom(A,d))

Ek soru: (Küme,yapı, dolu simetri grubu, etki) çoklusu için örnek tanımlar verebilir misiniz? Mesela aynal simetri için? Ya da üzerinde bir yapı olmayan bir A kümesi için?

Lisans Matematik kategorisinde (1.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 916 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ek sorunun son kısmına yanıt: Eğer A üzerinde yapı olmayan bir küme ise, dolu simetri grubu S(A)'dır. İlgili etki Ψ:S(A)×AA,Ψ(f,a):=f(a)  fS(A),aA'dir. (A'nın diğer bütün -örn. G ile adlandırılan- simetrileri bir ϕ:GS(A) grup homomorfizması üzerinden belirlenebilir.)

(1.2k puan) tarafından 

Aynal simetri terimi ve dolu simetri grubu nedir? Yani Tanım olarak.

Bir aA'nın bir lA'ye göre aynal simetri dönüşümü Aynl:AA,aAynl(a):=aa,ll,ll olarak tanımlanır. Yani zaten baştan aynal simetri terimini tanımlayabilmemiz için A'nın (Öklit) metriği yapısına sahip olması lazım.

Dolu simetri grubu soruda tanımlanıyor (sonuncu).

Çok çok affınıza sığınarak:

ilk tanım S(A):={f:AA} fonksiyonlar bire-bir ve örten olmalı.
ikinci tanım da Ψ:G×AX ...X yerine A gelmeli. Hemen devamında Ψ(x,Ψ(y,m))=Ψ(xy,a) ifadesinde m yerine a gelmeli.

Ek sorudan önce soru varmı? Yoksa ek sorudan önce yazılanların ispatını mı istiyoruz! Ayrıca sorudan şunu mu anlamamız gerekiyor: A ne olursa olsun(cebirsel bir yapıya sahip olmasa da) yukarıda yazılanlar tanımlanabilir mi?

Düzelttiğiniz için asıl ben çok çok teşekür ederim. Soru başlığındakini asıl soru olarak düşünmüştüm. Ve bence evet, A herhangi bir topolojik ya da sıra yapısına sahip olsa yeter(yani cebirsel olmak zorunda değil) - bunların dışında başka tür yapı(:=elemanları veya altkümelerinin aralarındaki bağıntılardan meydana gelen belli özelliklere sahip küme) var mı bilmiyorum...

20,305 soru
21,856 cevap
73,576 yorum
2,804,711 kullanıcı