$A$ metin boyunca hep boş olmayan bir küme olsun.
Tanım: $S(A):=\{f:A\xrightarrow{{\text{birebir ve }örten} }A\}$ kümesi bileşke $\forall f,g\in S(A)\ \ fg:=f\circ g$ olarak tanımlanan grup işlemiyle birlikte bir grup oluşturur ve bu gruba simetrik grup denir.
Tanım: $G$ bir grup olsun. $G$'den $A$ üzerine bir etki aşağıdaki özelliklere sahip $\Psi : G \times A\rightarrow A$ göndermesi olarak tanımlanır:
$\forall x,y\in G, \forall a\in A: \Psi(e,a)=a$ ve $\Psi(x,\Psi(y,a))=\Psi(xy,a)$.
O zaman $G$'ye $A$ üzerindeki dönüşüm grubu denir. ($G$ soldan -$\Psi$ aracılığıyla- $A$ üzerine etki eder.)
Not: $\Psi$ ile tanımlanan $\Psi_{x}:A\Rightarrow A:a\mapsto \Psi_x(a):=\Psi(x,a)$ göndermesi $\forall x\in G$ için birebir ve örtendir, yani $\Psi_x\in S(A)\ \ \forall x\in G $. Bunun dışında $\tilde{\Psi}:G\Rightarrow S(A),x\mapsto \tilde{\Psi}(x):=\Psi_x$ bir grup homomorfizmasıdır.
Böylece bir $A$ üzerinde bir dönüşüm grubu $G$'nin verilmesi bir $\tilde{\Psi}:G\mapsto S(A)$ grup homomorfizmasını belirler: Her $\phi:G\mapsto S(A)$ homomorfizması $G$'den $A$ üzerine $\Psi$ etkisinin doğal biçimde $\Psi(x,a):=\left(\phi(x)\right)(a)$ ile tanımlanmasının önünü açar. (Yani $\tilde{\Psi}$'nin $\Psi_x$'si bu $\Psi(x,a)$ üzerinden anlamlandırılıyor.)
Tanım: $A$ üzerinde bir $s$ yapısı olsun. Eğer $A$ üzerindeki bir $G$ dönüşüm grubunun ilgili $\Psi$ etkisi $s$ yapısını değiştirmiyorsa ('invariant' bırakıyorsa), $G$'ye simetri grubu ya da kısaca simetri denir. Bu ilgili birebir ve örten $\psi_x:A\rightarrow A$'nın $s$'yi değiştirmediği anlamına geliyor.
Yapıları daha bir elle tutulur hale getirebilmek için son bir
Tanım: Verilen bir $s$ yapısının $A$ üzerindeki dolu simetri grubu $\text{Mor}(A):=\{f:A\xrightarrow{{\text{birebir ve }örten}} A\vert f \text{ göndermesi } s\text{'yi değiştirmez}\}$ ile $\forall f\in \text{Mor}(A),a\in A\ \ \Psi(f,a):=f(a)$ etkisiyle tanımlanır. $\text{Mor}$; $s$ yapısının tersinir morfizmaları (=yapı koruyan gönderme) grubunun kısaltmasıdır.
Not: $\text{Mor}(A)\subset S(A)$. Genel bir simetri $\tilde{\Psi}:G\Rightarrow \text{Mor}(A)$ grup homomorfizmasıyla verilmiş olur. Bu bağlamda bir yapı ile bir $\text{Mor}(A)\subset S(A)$ altgrubunun seçilmesiyle özdeşleştirebiliriz.
Not: Her korunan yapıya ilişkin (çoğunlukla) ayrı bir (dolu) simetri (grubu) vardır.
cebirsel yapı (grup, halka, vektör uzayı,...) $\leftrightarrow$ Otomorfizma $\text{Aut(A)}$ (örn.vektör uzayı $\leftrightarrow$ vektör uzayı izomorfizması)
topolojik yapı $\leftrightarrow$ Homeomorfizma $\text{Homeo(A)}$
türevlenebilir yapı $\leftrightarrow$ Difeomorfizma $\text{Diff}(A)$
geometrik yapı (örn. metrik=iki nokta arasındaki uzunluk $\leftrightarrow$ İsometri $\text{Isom}(A,d)$)
Ek soru: (Küme,yapı, dolu simetri grubu, etki) çoklusu için örnek tanımlar verebilir misiniz? Mesela aynal simetri için? Ya da üzerinde bir yapı olmayan bir $A$ kümesi için?