A metin boyunca hep boş olmayan bir küme olsun.
Tanım: S(A):={f:Abirebir ve örten→A} kümesi bileşke ∀f,g∈S(A) fg:=f∘g olarak tanımlanan grup işlemiyle birlikte bir grup oluşturur ve bu gruba simetrik grup denir.
Tanım: G bir grup olsun. G'den A üzerine bir etki aşağıdaki özelliklere sahip Ψ:G×A→A göndermesi olarak tanımlanır:
∀x,y∈G,∀a∈A:Ψ(e,a)=a ve Ψ(x,Ψ(y,a))=Ψ(xy,a).
O zaman G'ye A üzerindeki dönüşüm grubu denir. (G soldan -Ψ aracılığıyla- A üzerine etki eder.)
Not: Ψ ile tanımlanan Ψx:A⇒A:a↦Ψx(a):=Ψ(x,a) göndermesi ∀x∈G için birebir ve örtendir, yani Ψx∈S(A) ∀x∈G. Bunun dışında ˜Ψ:G⇒S(A),x↦˜Ψ(x):=Ψx bir grup homomorfizmasıdır.
Böylece bir A üzerinde bir dönüşüm grubu G'nin verilmesi bir ˜Ψ:G↦S(A) grup homomorfizmasını belirler: Her ϕ:G↦S(A) homomorfizması G'den A üzerine Ψ etkisinin doğal biçimde Ψ(x,a):=(ϕ(x))(a) ile tanımlanmasının önünü açar. (Yani ˜Ψ'nin Ψx'si bu Ψ(x,a) üzerinden anlamlandırılıyor.)
Tanım: A üzerinde bir s yapısı olsun. Eğer A üzerindeki bir G dönüşüm grubunun ilgili Ψ etkisi s yapısını değiştirmiyorsa ('invariant' bırakıyorsa), G'ye simetri grubu ya da kısaca simetri denir. Bu ilgili birebir ve örten ψx:A→A'nın s'yi değiştirmediği anlamına geliyor.
Yapıları daha bir elle tutulur hale getirebilmek için son bir
Tanım: Verilen bir s yapısının A üzerindeki dolu simetri grubu Mor(A):={f:Abirebir ve örten→A|f göndermesi s'yi değiştirmez} ile ∀f∈Mor(A),a∈A Ψ(f,a):=f(a) etkisiyle tanımlanır. Mor; s yapısının tersinir morfizmaları (=yapı koruyan gönderme) grubunun kısaltmasıdır.
Not: Mor(A)⊂S(A). Genel bir simetri ˜Ψ:G⇒Mor(A) grup homomorfizmasıyla verilmiş olur. Bu bağlamda bir yapı ile bir Mor(A)⊂S(A) altgrubunun seçilmesiyle özdeşleştirebiliriz.
Not: Her korunan yapıya ilişkin (çoğunlukla) ayrı bir (dolu) simetri (grubu) vardır.
cebirsel yapı (grup, halka, vektör uzayı,...) ↔ Otomorfizma Aut(A) (örn.vektör uzayı ↔ vektör uzayı izomorfizması)
topolojik yapı ↔ Homeomorfizma Homeo(A)
türevlenebilir yapı ↔ Difeomorfizma Diff(A)
geometrik yapı (örn. metrik=iki nokta arasındaki uzunluk ↔ İsometri Isom(A,d))
Ek soru: (Küme,yapı, dolu simetri grubu, etki) çoklusu için örnek tanımlar verebilir misiniz? Mesela aynal simetri için? Ya da üzerinde bir yapı olmayan bir A kümesi için?