${1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}}$ eşitliğini zeta fonksiyonu ile gösterin

Question

Zeta fonksiyonu ile :

$${\large1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}}$$

Eşitliğini gösterin.

Comments

Pozitif terimlerin toplamı ne zamandan beri negatif oluyor?

---

neden olmasin?

---

Buradaki video izlenebilir.

---

https://youtu.be/YuIIjLr6vUA 

Buradaki videoda, diğer sitedeki yapılan hata gösterilmiş. Ramanujan'ın Hardy'ye gönderdiği yöntem, yakınsak-convergent-  dizilerde olabiliyormuş, oysa ilgili seri ıraksak-divergent-..  Yani, kullandığı yöntem yanlış. 

Üstteki video, biraz uzun, ama; ikna edici...

Answer 1

Bu seri ${\zeta(-1)}$' e eşittir.

${\zeta(-n)}$ için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.Bu eşitliğin ispatı için buraya bakılabilir.

$${\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}}$$

Burada ${B_n}$ , ${n.}$ bernoulli sayısı.

${n}$ yerine ${1}$ koyalım.

$${\zeta(-1)=-\frac{B_2}{2}}$$

${B_2=\frac{1}{6}}$ dır.

$$\large\color{red}{{\boxed{\zeta(-1)=-\frac{1}{12}}}}$$

Comments

Bu sorudan vardı daha önceden. Asıl sorum şu: bunun doğruluğuna inanıyor musun? Eğer doğru ise neden doğru?

---

http://matkafasi.com/16854/%24-zeta-n-frac-b_-n-1-n-1-%24-esitligini-ispatlayin linkinde bulunan ispatta toplam sembolü ile türev operatörünün yer değiştirebilmesi için söz konusu serinin DÜZGÜN YAKINSAK olması gerekiyor.

---

@Sercan Hocam cevabın doğruluğu ile ilgili bir şey söyleyemiyorum.O yüzden bu sefer başlıkta "ispatlayın" yerine "gösterin" yazdım.

@murad.ozkoc Hocam oradaki seri düzgün yakınsak değil mi ?

---

Gösteriniz dendiğinde yanlış olabilir yani?

---

Evet olabilir , hatta "ispatlayın" desem bile yanlış olabilir.

Gösterin derken başlıkta "gösterin" yazıyor ama soruda "zeta fonksiyonu ile gösterin" yazıyor.Gösterin derken kastım bu.