Question

Çokkatlı nedir?

Answer 1

Lisans birinci siniftan itibaren birileri bana cokkatli ne demek anlatmaya calisti, hem de en tatli sekilde. Hic anlamadim. Okudum da, anlamaya calistim. Hic dogal ya da kullanisli gelmiyordu. Sonra bir ara bir yerde bir sey oldu (kafama fritoz carpti) ve su an cok sacma bir derecede dogal geliyor, ne kadar kullanisli bir tanim oldugu da zaten cok acik. Bana anlatilan, en guzel sekliyle suydu:

"Yerel olarak Oklid uzayina benzeyen sey."

Bunun matematiksel olarak nasil yazilmasi gerektigini, murad.ozkoc cevabinda gorebiliriz. Ben birkac ekleme yapmak istiyorum. Oncelikle bu "benzemek" ne demek? Diger cevapta da belirtildigi gibi bunu homeomorfizma ile aciklayip, topolojik olarak benzemek (hatta ayni olmak) diyebiliriz. Biraz daha ileri gidip diffeomorfizma ile aciklayip turevlenebilir cokkatlilardan da bahsedebiliriz. Bu durumda, cokkatlilarimiz uzerinde kalkulus yapabiliriz.

Ikinci olarak, $\mathbb{R}^n$ Oklid uzayi, (orijin etrafinda $1$ yaricapli) acik yuvara (acik topa) homeomorf oldugu icin tanimimizda $\mathbb{R}^n$'e homeomorf olmak yerine, $n$ boyutlu acik yuvara homeomorf olmayi kullanabiliriz. Bazi durumlarda daha cok ise yarayabilir. Mesela kure orneginde, kendimizi kurenin uzerindeki bir nokta gibi dusunursek etrafimizda kucuk bir daire cizdigimizde, bu daire gercekten de okulda geometride gordugumuz daireye benzer resim olarak.

Cokkatlilar guzel nesneler. Cunku bir nokta secip, elimizde buyutecle o noktaya baktigimiz zaman, bildigimiz tanidigimiz Oklid uzayina benziyorlar. Bu durumda Oklid uzayinda ogrendigimiz/bildigimiz/yaptigimiz seyleri gidip orada da yapabiliyoruz.

Answer 2

Tanım: $(X,\tau)$ herhangi bir topolojik uzay ve $\mathcal{U}(x):=\{U\mid x\in U\in\tau\}$  olmak üzere

$$(X,\tau), \,\ n\text{-manifold (çokkatlı)}:\Leftrightarrow (\forall x\in X)(\exists U\in \mathcal{U}(x))(f:U\rightarrow \mathbb{R}^n \text{ homeomorfizm})$$

Örnek: Mesela çok bilinen bir çokkatlı olarak küreyi verebiliriz. $$X=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 \}\subset \mathbb{R}^3$$ kümesini altuzay topolojisi ile ele alırsak küre üzerindeki her noktanın bir açık komşuluğu $\mathbb{R}^2$'ye homeomorf olacak şekilde bir $f$ fonksiyonu bulunabilir. Dolayısıyla $(\mathbb{R}^3,\mathcal{U}^3)$ topolojik uzayının bir altuzayı olan $(X,\mathcal{U}_X^3)$ topolojik uzayı bir $2$-manifolddur.

Comments

Tanımda bir uyumluluk şartı da gerekmiyor mu?

---

Uyumluluk derken?

---

İki altküme alalım $U,V$ diye sırasıyla $x$ ve $y$'nin. $U$'nun bir koordinat sistemi var, homemorfizması, bir de $V$'nin. Bu iki koordinat sisteminin kesişim üzerinde "birisi kalk gidelim diyor, öbürü poh yeme otur ıturduğun yere diyor" biçiminde anlaşmazlıklarının olmaması gibi...