${ \frac{s(\mathbb{Q}^+)}{s(\mathbb{Z^+})}=\lim\limits_{n\to\infty} H_n}$

Question

Defterde karalamalar yaparken şöyle bir şey düşündüm ; ${\mathbb{Q}}$ rasyonel sayılar kümesi olmak üzere ${s(\mathbb{Q})}$ ifadesini ${s(\mathbb{Z})}$ gibi ifadelerle yazabilir miyiz?

Önce ${\mathbb{Q}^+}$ kümesinin elemanlarını yazmaya çalışalım.

${\frac{1}{n}}$ li terimler yazalım.

$${\large\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10},\frac{1}{11},\frac{1}{12}\tag{1}...}$$

Şimdi ${\frac{2}{n}}$ li terimler yazalım.Ama burada bazı terimleri çıkartmamız lazım çünkü , 1.ifadedeki bazı terimler burda da var.Çıkarttığım terimlerin üst kısmına ${*}$ koyuyorum ki anlaşılsın.

$${\large\frac{2}{1},\frac{2^*}{2},\frac{2}{3},\frac{2^*}{4},\frac{2}{5},\frac{2^*}{6},\frac{2}{7},\frac{2^*}{8},\frac{2}{9},\frac{2^*}{10},\frac{2}{11},\frac{2^*}{12}\tag{2}...}$$

Aynı şeyleri ${\frac{3}{n}}$ içinde yapalım.

$${\large\frac{3}{1},\frac{3}{2},\frac{3^*}{3},\frac{3}{4},\frac{3}{5},\frac{3^*}{6},\frac{3}{7},\frac{3}{8},\frac{3^*}{9},\frac{3}{10},\frac{3}{11},\frac{3^*}{12}\tag{3}...}$$

Bunu böyle sonsuza kadar devam ettirirsek ${\mathbb{Q}^+}$ kümesinin bütün elemanlarını yazmış oluruz.Şimdi bu yaptıklarımıza göre ${s(\mathbb{Q}^+)}$ ifadesini bulmaya çalışalım.

${1}$ numaralı ifadedede ${s(\mathbb{Z^+})}$ kadar terim var.

${2}$ numaralı ifadede , her iki terimden sadece ${1}$ tanesi var.Yani terim sayısı ${\frac{1}{2}s(\mathbb{Z}^+)}$

${3}$ numaralı ifadede ${\frac{1}{3}s(\mathbb{Z}^+)}$ kadar terim var.

${\large.}$

${\large.}$

${\large.}$

Bu eleman sayılarının hepsinin toplamı bize ${s(\mathbb{Q}^+)}$ ifadesini verir.Toplayalım o zaman.

$${\large s(\mathbb{Q}^+)=s(\mathbb{Z^+})+\frac{1}{2}s(\mathbb{Z}^+)+\frac{1}{3}s(\mathbb{Z}^+)+\frac{1}{4}s(\mathbb{Z}^+)+...}$$

${s(\mathbb{Z^+})}$ parantezine alalım.

$${\large s(\mathbb{Q}^+)=s(\mathbb{Z^+})\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}$$

${\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}$ yerine , harmonik seri olan ${H_n}$ yazalım.

$${\large s(\mathbb{Q}^+)=\lim\limits_{n\to\infty} s(\mathbb{Z^+})H_n}$$

${s(\mathbb{Z^+})}$ ifadesini eşitliğin diğer tarafına yazalım.

$${\large \frac{s(\mathbb{Q}^+)}{s(\mathbb{Z^+})}=\lim\limits_{n\to\infty} H_n}$$

Şimdi benim sorum ; Yaptığım işlemler doğrumu?

${\lim\limits_{n\to\infty} H_n}$ ifadesi ${\infty}$ a eşit olduğundan ifade doğru olması lazım?

Comments

$\mathbb R$ degil de $\mathbb Q$'yu yazmis olursun.

---

Doğru söylüyorsunuz.${\mathbb{Q}^+}$ olacak

---

$s$ nedir? Kardinalite mi?

Bir de bununla alakali olarak 

http://matkafasi.com/6566/z-ile-q-birebir-eslenebilir-mi#a6580

---

${s}$ ile kümedeki eleman sayısını belirtmek istedim.Sonsuz elemanlı bir kümenin eleman sayısı böyle belirtilebilir mi?

Linke baktım , teşekkürler.Orada da benim yaptığıma benzer şeyler var.

---

Linkteki soru sunu soyluyor. $\mathbb{Q}$ ile $\mathbb{Z}$ birebir eslenebilir. Yani, ikisinin "eleman sayisi" aynidir.

Eleman sayisinin ayni olmasini birebir-orten fonksiyonlar ile tanimlamak cok dogal bir sey, oyle degil mi? Ya da gercekten o kadar dogal mi? Bunu dusunmek lazim (cevap evet :) ).

Eger, bir kume dogal sayilar kumesi ile birebir eslenebiliyorsa o kumeye sayilabilir diyoruz. Ne de olsa, saymak demek kumemizin elemanlarini $a_1, a_2, \ldots$ diye saymak demek. Buradan da su soru cikiyor: Sayilabilir olmayan sonsuz kumeler var midir?

Vardir. Bunun icin, ilk once sunu gostermeyi deneyebilirsin. Eger, $\mathcal{P}(X)$, $X$ kumesinin butun alt kumelerinin olusturdugu kume ise, $X$'ten $\mathcal{P}(X)$'e birebir ve orten bir fonksiyon yazamazsin. Bunun cok standard ve guzel kaniti var.

Bu durumda, $\mathbb{N}$ ve $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ kumeleri sonsuz olmasina ragmen $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ kumesi sayilabilir degildir. 

Ote yandan, sunu da kanitlayabilirsin. $(0,1)$ araligi ya da $\mathbb{R}$ kumeleri de sayilabilir degildir. Bunun da cok guzel bir kaniti var. Cantorun kosegenlestirmesi diye gecer. Ustune ustluk sunu da kanitlayabilirsin: $(0,1)$ ile $\mathbb{R}$ arasinda birebir ve orten bir fonksiyon bulabilirsin. 

Yani sunlar var elimizde: Ne kadar tam sayi varsa, o kadar dogal sayi vardir. Ne kadar tam sayi varsa, o kadar rasyonel sayi vardir (Her iki tamsayi arasinda sonsuz rasyonel sayi olmasina ragmen!). Ama $(0,1)$ araligindaki butun reel sayilar, butun rasyonel sayilardan daha "coktur."

Bunlar klasik matematik birinci sinif konularidir. Daha onceki bir yorumundan anladigim kadariyla (kitap onerisi sorusu), senin matematik lisans gecmisin yok. Bunlari ogrenebilecegin birkac yer var.

Matematik DUnyasi dergisinin 2003-1 sayisi. Cok tatli anlatilmis burada.

Bir de Nesin Matematik Koyu websitesinde e-kutuphane var, Orada Temel Matematik basligi altindaki linklere bakabilirsin. 

Bir de googlela: Hilbert Oteli.

Sonsoz: Sordugun soru cok guzel. Iki acidan guzel. Birincisi bunun sormaya deger bir soru oldugunu gormek guzel. Ikincisi de buna dair bir arguman gelistirebilmis olmak guzel. Ama maalesef matematiksel olarak cok da anlamli degil.

---

Hocam ilginiz için çok teşekkürler :) .Hepsini okudum.

Söylediğiniz kaynakları inceliğicem.

---

ben de hepsini okudum.

---

Ben sonzusu okudum sadece bide hilbert oteli

---

Sonsuz mu, sonsoz mu?

---

Aradan sonsuz kelimesi buldum onu okudum. 

Şaka bi yana bende okudum. Çok ince görmüş 

---

Bir de şöyle bir durum var. Yukarıdaki gibi bir biçimde rasyonel sayıları sayamazsın. çünkü $\frac{1}{n}$'li terimler bitmeyecek ve $\frac{2}{n}$'li terimlere geçemeyeceksin.