Defterde karalamalar yaparken şöyle bir şey düşündüm ; ${\mathbb{Q}}$ rasyonel sayılar kümesi olmak üzere ${s(\mathbb{Q})}$ ifadesini ${s(\mathbb{Z})}$ gibi ifadelerle yazabilir miyiz?
Önce ${\mathbb{Q}^+}$ kümesinin elemanlarını yazmaya çalışalım.
${\frac{1}{n}}$ li terimler yazalım.
$${\large\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10},\frac{1}{11},\frac{1}{12}\tag{1}...}$$
Şimdi ${\frac{2}{n}}$ li terimler yazalım.Ama burada bazı terimleri çıkartmamız lazım çünkü , 1.ifadedeki bazı terimler burda da var.Çıkarttığım terimlerin üst kısmına ${*}$ koyuyorum ki anlaşılsın.
$${\large\frac{2}{1},\frac{2^*}{2},\frac{2}{3},\frac{2^*}{4},\frac{2}{5},\frac{2^*}{6},\frac{2}{7},\frac{2^*}{8},\frac{2}{9},\frac{2^*}{10},\frac{2}{11},\frac{2^*}{12}\tag{2}...}$$
Aynı şeyleri ${\frac{3}{n}}$ içinde yapalım.
$${\large\frac{3}{1},\frac{3}{2},\frac{3^*}{3},\frac{3}{4},\frac{3}{5},\frac{3^*}{6},\frac{3}{7},\frac{3}{8},\frac{3^*}{9},\frac{3}{10},\frac{3}{11},\frac{3^*}{12}\tag{3}...}$$
Bunu böyle sonsuza kadar devam ettirirsek ${\mathbb{Q}^+}$ kümesinin bütün elemanlarını yazmış oluruz.Şimdi bu yaptıklarımıza göre ${s(\mathbb{Q}^+)}$ ifadesini bulmaya çalışalım.
${1}$ numaralı ifadedede ${s(\mathbb{Z^+})}$ kadar terim var.
${2}$ numaralı ifadede , her iki terimden sadece ${1}$ tanesi var.Yani terim sayısı ${\frac{1}{2}s(\mathbb{Z}^+)}$
${3}$ numaralı ifadede ${\frac{1}{3}s(\mathbb{Z}^+)}$ kadar terim var.
${\large.}$
${\large.}$
${\large.}$
Bu eleman sayılarının hepsinin toplamı bize ${s(\mathbb{Q}^+)}$ ifadesini verir.Toplayalım o zaman.
$${\large s(\mathbb{Q}^+)=s(\mathbb{Z^+})+\frac{1}{2}s(\mathbb{Z}^+)+\frac{1}{3}s(\mathbb{Z}^+)+\frac{1}{4}s(\mathbb{Z}^+)+...}$$
${s(\mathbb{Z^+})}$ parantezine alalım.
$${\large s(\mathbb{Q}^+)=s(\mathbb{Z^+})\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}$$
${\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}$ yerine , harmonik seri olan ${H_n}$ yazalım.
$${\large s(\mathbb{Q}^+)=\lim\limits_{n\to\infty} s(\mathbb{Z^+})H_n}$$
${s(\mathbb{Z^+})}$ ifadesini eşitliğin diğer tarafına yazalım.
$${\large \frac{s(\mathbb{Q}^+)}{s(\mathbb{Z^+})}=\lim\limits_{n\to\infty} H_n}$$
Şimdi benim sorum ; Yaptığım işlemler doğrumu?
${\lim\limits_{n\to\infty} H_n}$ ifadesi ${\infty}$ a eşit olduğundan ifade doğru olması lazım?