Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 1 beğenilmeme
387 kez görüntülendi
Hangi n doğal sayıları için, $x^2+x+1|x^2n+x^n+1$ şartı sağlanır?
Serbest kategorisinde (19 puan) tarafından  | 387 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Soruda gecen polinomlari $f(x)=x^2+x+1$ ve $f_n(x)=x^n+nx^2+1$ biciminde adlandiralim ve su gozlemi yapalim: Eger $f(x)|f_n(x)$ sarti saglaniyorsa $f_n(x)=f(x)g_n(x)$ esitligini saglayan bir polinom var demektir ki, bu da $f(x)$ polinomunu sifirlayan her karmasik sayinin $f_n(x)$ polinomunu da sifirlamasi demektir. Bu gozlemi ve ucgen esitsizligini kullanarak bu bolmenin yalnizca $n=1$ icin mumkun oldugunu ispatlayacagiz.

Ikinci dereceden polinomlarin koklerini nasil bulacagimizi biliyoruz: $f(x)$ polinomunun kokleri sunlardir: $$\text{$x_1=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ve $x_2=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$}.$$ Dikkat edilirse bu iki karmasik kokun de uzunluklari $1$. Diyelim ki $f_n(x)=f(x)g_n(x)$ esitiligini saglayan bir $g$ polinomu var olsun. Yukaridaki ilk gozlemimiz geregi $$f_n(x_1)=x_1^n+nx_1+1=0$$ esitligi saglanmali. Kokumuz $x_1$'in uzunlugu $1$ oldugu icin $x_1^n$ karmasik sayisinin uzunlugu da $1$ olmak zorundadir, ayni nedenle $nx_1^2$ karmasik sayisinin uzunlugu da $n$ olmak zorundadir. $f_n(x_1)=0$ olmasi demek, $x_1^n$, $nx^2_1$ ve $1$ karmasik vektorleri bir ucgen olusturuyor demektir. O halde ucgen esitsizligi sayesinde su sonuca variriz:

\begin{equation}

0\leq n \leq 2.

\end{equation} Bu demektir ki olasi $n$ yalnizca $0,1$ ya da $2$'dir. $f_0$ ve $f_2$ polinomlarinin kokleri bulunarak (ya da daha kolay yontemlerle) bu iki polinomun $f$ tarafindan bolunmedigi rahatlikla gosterilebilir.
(3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
bir sekilde yazinin bir kisminda yazilar bitisik cikiyor. bir taraf duzeliyor diger taraf yapisiyor. icinden cikamadim

ucgen.. hos olmus..

teşekkür ederim :)
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$n=3k$ seklinde ise kalan $n(-x-1)+-1+1$ olur ve $n=0$ olabilir ama olamaz.
$n=3k+1$ seklinde ise kalan $n(-x-1)+ x+1$ olur ve sadece $n=1$ olabilir.
$n=3k+2$ seklinde ise kalan $n(-x-1)+(-x-1)+1$ olur ve uygun $n$ bulunamaz.

(24.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Sercan hocam,

$n=3k+1$ durumunun incelendiği ikinci maddede '$n=1$ olabilir ama olamaz' yerine '$n=1$ olabilir ama bundan daha büyük değerler olamaz' anlamına gelen bir cümle yazılacaktı sanırım. (Bariz olarak $n=1$ olabilmekte.) 

Teşekkür ederim. Düzenledim. Eski halinde $\pm$ yazmışım. Orda bir olaylar olmuş ama. Net çıkaramadım. 

19,696 soru
21,399 cevap
71,870 yorum
220,759 kullanıcı