${\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}}$ olduğunu ispatlayınız

Question

${\Gamma(x)}$ gama fonksiyonu olmak üzere ,

$${\large\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}}$$

Olduğunu ispatlayınız.

Answer 1

Gama fonksiyonunun tanımı şöyledir :

$${\large\Gamma(x)=\int_0^{\infty}\mu^{x-1}e^{-\mu}d\mu}$$

${x}$ yerine ${\frac{1}{2}}$ yazalım.

$${\large\Gamma(\frac{1}{2})=\int_0^{\infty}\mu^{-\frac{1}{2}}e^{-\mu}d\mu}$$

${\omega=\sqrt{\mu}}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$${\large\Gamma(\frac{1}{2})=2\int_0^{\infty}e^{-\omega^2}d\omega}$$

${e^{-\omega^2}}$ fonksiyonu ${y}$ eksenine simetrik olduğundan ifadeyi şöyle yazabiliriz :

$${\large\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\omega^2}d\omega}$$

Bu integral gauss integralidir ve değeri ${\sqrt{\pi}}$ dir.Bunun ispatı için buraya bakılabilir.

$${\large\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\omega^2}d\omega=\sqrt{\pi}}$$

Comments

$\omega=\sqrt{u}$       $\omega=\sqrt{\mu}$  olacak, typo var galiba..

---

Evet hocam , yazım hatası olmuş.

Answer 2

burdaki esitligi kullanirsak: $\Gamma(\frac 12)\Gamma(1-\frac 12)=\frac \pi{\sin \frac 12\pi}=\pi$ bize cevabi verir. (Ayrica $\Gamma(\frac 12) >0$).

Comments

Bu daha basitmiş hocam :)