$B( p,p) =\displaystyle2\int _{0}^{\frac {1} {2}}\left[ t\left( 1-t\right) \right] ^{p-1}dt=\dfrac {\sqrt {\pi }} {2^{2p-1}}\dfrac {\Gamma\left( p\right) } {\Gamma \left( p+\frac {1} {2}\right) }$

Question

olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$B(p,p)$ ifadesinin eşitini yazalım.

$$B(p,p)=\int_0^1\:u^{p-1}\:(1-u)^{p-1}\:du$$

$$B(p,p)=\int_0^1\:\:\Big(u(1-u)\Big)^{p-1}\:du$$

$\Big(u(1-u)\Big)^{p-1}$ fonksiyonu $x=\frac{1}{2}$ eksenine göre simetrik olduğundan dolayı integrali iki eşit parçaya bölebiliriz.

$$B(p,p)=2\:\int_0^{\frac{1}{2}}\:\:\Big(u(1-u)\Big)^{p-1}\:du$$

Soruda verilen ilk eşitliği doğruladık.İkinci eşitlik için de buraya bakılabilir.