Faktöriyel

Question

$13<x<y<46$ olmak üzere $x!+y!$ toplamında en çok kaç sıfır vardır?

Answer 1

$x!+y!$ toplamındaki sıfır sayısı:

1)  $x!$ ile $y!$  de eşit sayıda sıfır varsa toplamda bunların birisindeki kadar sıfır vardır.

2)  $x<y$ olduğundan toplamdaki sıfır sayısı $x!$ 'deki sıfır sayısı kadardır.

Toplamda en çok sıfır olması istendigi için bu durum $44\leq x<y=45<46$ olmalıdır. $x!= 44!$ ise en çok sıfır $9$ tanedir.

Answer 2

Bu soru oyle kolay bir soru degil. Program yazmadan bulunabilir mi, emin degilim.

ornek: $4!+3!=24+6=30$ yani son basamaklar sifir olmazsa da sona sifir gelebilir.

ilk akla gelen ve uygulanmasi gereken cevap (en azindan en yuksek icin bir alt sinir elde edebilecegimiz cevap) Metok hocanin cevabi. Lakin bir program yazdiginiz zaman $11$ tane sifir olusabilecegini de gorebilirsiniz. 

Comments

Soruda "kac tane sifir vardir?" diyor, "sonunda kac tane sifir vardir?" demiyor. Mesela 50+51=101 ve burada bir tane sifir var.

Ben, sana katiliyorum. Soruyu soran buyuk ihtimalle senin cevapladigin seyi dusunuyordu ama eksik yazdi. Peki, soru bu haldeyken bunu cevaplamanin bir yolu var mi sence? Yoksa cok mu zor?

---

Carpim icin sondaki $0$lari bulmak bi nebze kolay. Cunku $5$-sel ve $2$'sel kuvvetlerini degerlendirecez. (ki buna ragmen carpmaya yatkin faktoriel icin bile aralarda sifir bulmak zor yani.) Ki toplama icin faktoriel bilgisi ne olmali? Bilgisayar icin ya da zihinsel algoritma ne olmali ki sadece sondaki sifirlari sayabilelim, ya da tum sifirlari. Bu anca sayilari bilip toplamakla mumkun olur, ki bu da elle teker teker islem yapmaya es deger, yani kaba kuvvet yontemi (brute force) kullanmis oluruz. Bu da hic etkili (efficient) bir yontem degil.

Answer 3

Bilgisayarla yapilan hesaptan max 11 sifir olacagi goruluyor..

Bilgisayar kullanmadan soruya soyle yaklasilmalidir.

$40\le x <y\le 44$ icin $x!$ ve $y!$ sayilarinin sonunda 9 tane sifir vardir.. (esit sayida olmalidir ki max sayida sifir elde edelim)

Diyelim ki

$40!+41!=40!(1+41)=40!45$ 10 tane sifir vardir.

Ama oyle ayarlanabilir ki parantez icindeki sayi 25 in kati olabilir (mi?). Boylece 2 tane sifir gelir ordan..

Biraz deneme yanilmayla

$$40!+44!=40!(1+44.43.42.41)=40!(1+3258024)=40!(3258025)$$ Bir sayinin 25 e bolunebilmesi icin son iki basamaginin 00,25,50 veya 75 olmasi lazim..  bundan dolayi $3258025$ sayisi 25 in  katidir..

Boylece toplam 11 sifir elde edilis olur.

Not: Ben cevabi bildigim icin 11 sifiri bulduktan sonra biraktim.. Aslinda baska kombinasyonlarla  ( $41!+44!=40!(41+44.43.42.41$ gibi) parantez icinin 125 in kati hatta 625 in kati olup olamayacagi kontrol edilmelidir..

Comments

Soruda "kac tane sifir vardir?" diyor, "sonunda kac tane sifir vardir?" demiyor. Mesela 50+51=101 ve burada bir tane sifir var.

Ben, sana katiliyorum. Soruyu soran buyuk ihtimalle senin cevapladigin seyi dusunuyordu ama eksik yazdi. Peki, soru bu haldeyken bunu cevaplamanin bir yolu var mi sence? Yoksa cok mu zor?

---

Eger gercekten soru yazildigi gibiyse, elle yapilacagini sanmiyorum ki zaten ortaogretim seviyesinde sorulmus..

Soru bu haliyle bilgisayarla cozulebilir..

$38!+39!=20920904698664044470400288964002971648000000000$  sayisinin sonunda 9 sifir var ve sayinin tamaminda 18 sifir var ki en fazla bu ikilide sifir var ( sayi aralarindakiler sifirlar dahil..)

---

Sorunun doğru cevabı 10 ve kastedilen sondaki sıfır bence. Sondaki sıfır sayısını bulmaya yönelik soruların içindeydi bu soru.

---

iyi de biz 11 sifir bulduk..

$40!=815915283247897734345611269596115894272000000000$

$44!=2658271574788448768043625811014615890319638528000000000$

$40!+44!=2658272390703732015941360156625885486435532800000000000$

---

Bilemiyorum kaynakta sıkıntı var demek ki.