Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
181 kez görüntülendi

Elimizde $n$ farklı renkte, her renkten de sonsuz tane çubuk olsun. Bu çubuklarla birbirinden temelde farklı olmak üzere (yani simetrik ve döndürme durumlarında aynı kalmayacak) kare şeklinde kaç ızgara yapılabilir.

(Not : Soruyu sayma kullanılarak çözmek zor duruyor. Grup etkisi kullanarak çok güzel çözülebileceğini keşfettim, paylaşmak istedim.)

Akademik Matematik kategorisinde (325 puan) tarafından  | 181 kez görüntülendi

Çözümünüzü bizimle paylaşmak istermisiniz?

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Toplamda $n^4$ farklı ızgara yapabileceğimizi biliyoruz. Bunlardan bazıları temelde birbiriyle aynı. Bu $n^4$ ızgaranın kümesine $K$ diyelim. Bunlar kare şeklinde olduğu için $D_8$'in $K$ üzerine bir etkisi var. Burnside teoremini kullanırsak : 
$x = \frac{1}{8}\sum_{g\in G} \chi(g)$, $x$ temelde farklı ızgara sayısı ve $\chi(g)$, $g$'nin sabitlediği eleman sayısı. 
$D_8$'in içindeki rotationlara bakalım.
Birim eleman $n^4$ elemanın hepsini sabitliyor. 
İki tane $90$ derece rotation var. Bu rotationların bir elemanı sabitlemesi için tüm kenarları aynı renkte olmalı. Öyleyse $n$ eleman sabitliyorlar. 
$180$ derece rotationa bakalım. Bu rotationın bir elemanı sabitlemesi için üst-alt ve sağ-sol kenarları aynı renkte olmalı. Öyleyse $n^2$ eleman bu rotation tarafından sabitleniyor.
Şimdi simetrilere bakalım. İki diyagonal simetri $n^2$ elemanı sabitliyor. 
Diğer iki simetri ise $n^3$ elemanı sabitliyor.
Öyleyse Burnside teoremi ile
$x=\frac{n^4+2n^3+3n^2+2n}{8}$
Aslında yörünge saymaktan başka bir şey yapmıyoruz fakat sayma kullanarak zor görünen bu problem, grup etkisi kullanarak son derece sıradan bir çözüm ile gösterilebiliyor.
(325 puan) tarafından 
19,468 soru
21,188 cevap
71,118 yorum
27,172 kullanıcı