Question

1 sayısı neden asal değildir?

Answer 1

Neden -1 yada -2 asal degil?

Asal sayinin tanimi: eger  tum $a,b \in R$ icin $p|ab$ oldugunda $p|a$ ya da $p|b$ olursa bunlara asal sayi deniyor.

Indirgenemez sayi tanimi: Eger $a$ sayisinin bolenleri sadece birim elemanlar ve kendisinin birim elemanlarla carpimi ise.

ve bizim tam sayilarda asal olarak kullandigimiz tanim aslinda indirgenemezlik tanimi (ki bu iki tanim tam sayilarda esdeger)

Artik soruyu su sekilde sorabiliriz. Birim elemanlari neden indirgenemez olarak almiyoruz? (ya da Salih Durhan'in yazdiklarindan esinlenerek, neden asal ideallerin sarti olarak halkanin kendisine esit olmamasini istiyoruz?)

Bunlara ek olarak demek istedigim: matematikte deger  fonksiyonu var (valuation map). Bu fonksiyon bizim kendi indirgenmezlerimizde gayet iyi-tanimli calisiyor $uz^n \rightarrow n$, u birim ve z indirgenemez. 

Simdi eger birim eleman icin bunu yapsak, ornegin 1 icin. $1=1^1 \rightarrow 1$ ve  $1=1^2 \rightarrow 2$. Yani iyi tanimli degil. 

Kisacasi birim elemanlarin degeri 0, indirgenemezlerin degeri 1, karelerinin degeri 2,.... ve biz indirgenemez olarak degeri 1 olanlari aliyoruz.. 

Answer 2

Eğer $1$ asal sayı olsaydı, herhangi bir sayının birden fazla asal çarpanları cinsinden gösterimi olurdu.

örneğin

$18=2×3×3$ ile gösterilirken eğer $1$asal olsaydı 

$18=1×2×3×3$ veya

$18=1×1×2×3×3$ ....şekillerinde $1$ den fazla gösterim olurdu...buna benzer $1$ in işin içine girdiği zaman sorun çıkardığı durumlar temelli $1$ in asal sayı olmadığını düşünüyorum...

Answer 3

Aritmetiğin temel teoreminine göre;

$n\geq1$ bir doğal sayı olsun ve $p_1, p_2, ..., p_n$ asallar olsun.

Bu durumda öyle bir $k\in \mathbb{N}$ ve $\forall i$ $\exists m_i$ olacak şekilde;

$n=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k}$ şeklinde yazılabilir.

Burada $k$ ve $m_i$'ler biriciktir.

Bu teoremin ispatını vermiyorum fakat bu teorem neden $1$'in asal olamayacağını söylüyor.

Eğer olsaydı, diğer cevapta da bahsedildiği şekilde bir düzensizlik ortaya çıkacaktı.

Teoremin ispatı merak ediliyorsa, hemen hemen tüm sayılar kuramı kitaplarında bulunabilir.

Answer 4

Buna kısaca "teknik sebeplerden" demek gerekir. 1'i de asaldan saysak çok pek çok teoremi farklı şekilde ifade etmemiz gerekirdi, "p bir asal olsun" diye başlamak yerine "p 1'den büyük bir asal olsun" diye başlamak durumunda kalırdık.

Önceki iki cevapta böyle durumlardan birisinden bahsedilmiş. Ben bir başkasından bahsedeyim. Mevcut asal tanımına göre, $p$ asal bir sayı ise $p\mathbb{Z}$ ($p$'nin tamsayı katları kümesi) $\mathbb{Z}$ halkasının bir maksimal idealidir. Eğer $1$'i de asaldan saysaydık $1\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ olduğundan maksimal bir ideal olmayacaktı. Ya da şunu değerlendirebilirsiniz, mevcut asal tanımına göre hiç bir asalın çarpmaya göre tersi (tamsayılar halkasında) yok ama $1$'in çarpımsal tersi var (kendisi).

Bunlara benzer pek çok örnek bulunabilir. Sadede gelecek olursak, ilk bakışta $1$'in asaldan sayılmaması bir haksızlık gibi görünüyor ama eğer $1$'e de asal deseydik geri kalan asalların hepsinden çok farklı özelliklere sahip bir asalımız olurdu.