Question

İlk 18 pozitif tam sayıdan 5 tanesi herhangi ikisinin aralarındaki fark en az 2 olmak şartı ile kaç farklı şekilde seçilebilir

Answer 1

$18$ sayının $5$'ini seçeceğiz. Nokta-çubuk yöntemiyle $5$ çubuk, $13$ noktamız olacak. Eğer çubukları tek tek değil de $./.$ şeklinde alırsak çubuklar arasında en az iki nokta olur. Bu durumda $5$ tane $./.$, $3$ tane $.$ şeklini sıralayacak olursak $\frac{8!}{5!.3!}=56$ farklı diziliş olur ve bu da bu $5$ sayının $56$ farklı şekilde seçilebileceğini gösterir.

Comments

Çözümü tam anlayamadım öncelikle neden 13 nokta var sonra 8 e nasıl geldik. Birde cevap oldukça küçük

---

Seçilenler için çubuk, seçilmeyenler için 1 nokta. Fakat şu an sorunun çözümünün yanlış olduğunu farkettiğim için geniş açıklamayı çözünce yapacağım.

---

Çubuklar (seçilenler) $5$ adet, noktalar (seçilmeyenler) $13$ adettir. Örneğin bir çubuk soldan $8.$ sıradaysa $8$ sayısını seçmişizdir. Şimdi soruyu açıklamaya gelirsek, $./.$ şeklinde noktaları ve çubukları (bundan sonra onları $\%$ ile gösterelim) bağlarsak fark hiçbir şekilde $2$'den küçük olamaz. Fakat şöyle bir sorun var: Çubuk hiçbir zaman başa gelemez. O halde 2 nokta eklersek bu sorunu hallederiz. Eğer $20$ nokta ve çubuğa değil de sadece aradaki $18$'e bakarsak sorun çözülmüş olur. Bu durumda serbest olan $3$ değil $5$ nokta ve $5$ adet $\%$ bulunur. O halde toplamda $10$ eleman olur. Tekrarlı permütasyondan $\frac{10!}{5!.5!}=252$ farklı seçim yapılabileceğini görürüz.