$p$ tabanindaki sayilarin basamak toplamlari ve ucgen esitsizligi

Question

Asagidaki tanimlari aslinda taban aritmetiginden biliyoruz..

$n$ negatif olmayan bir sayi olsun, $p$ asal bir sayi olsun.
$n=n_0+n_1p+\cdots+n_tp^t$ da $n$ sayisinin $p$-sel yazilimi olsun. (yani, tum $i\geq0$ icin $0 \leq n_i\leq p-1$).
$s_p(n)$ de bu katsayilarin toplami olsun, yani  $s_p(n) :=\sum\limits_{i=0}^t n_i$.

ispatla ya da curut: Her $a,b \in \mathbb N$ icin $s_p(a+b) \leq s_p(a)+s_p(b)$.

Answer 1

Eğer $a_i+b_i \geq p$ ise $s_p(a+b)<s_p(a)+s_p(b)$ çünkü toplam eldeli olacağı için öbür basamağa devreder. Sayının basamak değerinin artması ise sayının rakamları toplamının küçülmesine neden olur. Örn: $p=7$ için, $(5)_7+(4)_7=(12)_7$ olur ve $1+2<5+4$'tür. Eğer $a_i+b_i<p$ ise $s_p(a+b)=s_p(a)+s_p(b)$ olur çünkü bu toplamda elde olmayacağından basamak kayması da olmaz bu da sayı değerlerinin değişmemesini sağlar. Örn: $p=11$ için,  $(5)_{11}+(4)_{11}=(9)_{11}$ olur ve $5+4=9$'dur.

Soruyu yanlış anlamadıysam cevabı böyle hocam.

Comments

tabi bu ispat olmuyor ama bu dusuncelerle ispatlanabilir.

---

Tam ispatı ben de merak ettim şu an.

---

yukardaki fikirle ispatlayabilirsin bence.

Answer 2

Herhangi es katsayilarin toplami $p-1$'den buyukse toplam kuculur. 

Yani demek istedigim: $p \leq a_i+b_i \leq 2(p-1)$ ise $s(a_i+b_i)= (a_i+b_i-p)+1$ olur , yani ilk durumun $p-1$ eksigi.

Bu fikri tumevarimla desteklersek ispat tamamlanmis. Bu kisim da okuyucuya kalsin.

Ayrica her es katsayi toplami $p$'den kucuk ise toplamin degismeyecegini de soylemek lazim.