$S=0,[2k][3k][5k][7k]...$ sayısı rasyonel midir?

Question

Verilen herhangi bir $k$ pozitif tam sayısı için, $m$ sayısının ondalık gösterimi $[m]$ ile gösterilmek ve $k$  sayısı bir sonraki asal sayı ile çarpılmak üzere $$S=0,[2k][3k][5k][7k]...$$ sayısı oluşturuluyor. Örneğin $k=2$  için  $S=0,461014...$ elde ediliyor. Hangi $k$ sayıları için $S$ sayısı rasyoneldir?

Answer 1

Ardışık asal sayıların verilen pozitif $k$ tam sayısı ile çarpılmasıyla oluşturulan  $S$ sayısının rasyonel olabilmesi için ondalık gösteriminin ya sonlu olması ya da periyodik bir şekilde tekrar eden bir sayı bloğu içermesi gerekir. Ancak, asal sayıların sonsuz olması nedeniyle, $S$ sonsuz bir rakam dizisine sahip bir sayı olarak düşünülebilir ve herbir ardışık asal sayı öncekinden büyük olacağından $p \cdot k$ çarpımları da büyür ve bu durum ondalık gösterimdeki basamak sayısının sürekli artmasına neden olur. Periyodik bir dizide, sabit uzunlukta ve aynı rakamların tekrar ettiği blokların bulunması gerekir, ancak $S$nin basamak sayısı sürekli arttığından bu mümkün değildir. Bu nedenle, $S$'nin basamak dizisi periyodik olamaz ve dolayısıyla $S$ irasyonel bir sayı olmalıdır.

Comments

0.1 11 111 ... için de 1,11,111 artan diyebiliriz ama rasyonel.

---

Basamak sayısı artıyor ama burada her blokta aynı rakamlar kullanılmış.

---

Bunu biraz daha kesinleştirebiliriz:

@alpercay zaten ondalık açılımın sonlu olmadığını belirtmiş.

$m$ uzunluğunda (hepsi birden $0$ olmayan) bir bloğun tekrar ettiğini varsayalım. $k$ sayısı $n$ basamaklı olsun.

şu soruda, Dirichlet Teoremi kullanarak, gösterildiği gibi, (istendiği kadar büyük)  $00000\cdots01$ (en az $m+n$ tane $0$) ile biten bir $p$ asal sayısı vardır. (İstendiği kadar büyük olması, tekrarın başladığı basamağa ulaşmak için gerekli)

$kp$ de (en az) $m$ tane ardışık $0$ olur. Bu durum ise, $m$ uzunluğunda, hepsi birden $0$ olmayan, tekrarlayan bir bloğun varlığı ($S$ sayının rasyonel oluşu) varsayımı ile çelişir.

 

---

Doğan hocam sanırım aşağıdaki kanıt sizinkiyle aynı.

Hardy-Wright' ın Theory of numbers kitabındaki Copeland-Erdos sayısının irasyonelliğinin kanıtından esinlenerek şöyle bir kanıt düşünülebilir:

$S$ sayısı rasyonel olsaydı ondalık açılımı ya belli bir uzunlukta periyodik sayı blokları içerir ya da sonlu olurdu. Dirichlet teoremine göre $p=a+n.10^{r+1}$ biçimimde sonsuz sayıda asal sayı mevcuttur ($n00000..a$ şeklindeki asallar). Daha önce kanıtlandığı üzere bu asal sayılar (aslında $k$ katları) $S$ sayısı içinde bir yerlerde bulunur. Yani $S$ nin içinde keyfi adet ardışık $0$ içeren asallar vardır.  Dolayısıyla $S$ nin ondalık açılımı bir noktada sona ermeyen veya tekrar etmeyen bu tarz diziler içerdiğinden $S$ sayısı rasyonel olamaz.