$(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin minimumu (varsa) tektir. Gösteriniz.

Question

Yani $(X,\preceq)$ poset, $A\subseteq X$ ve $a,b\in X$ olmak üzere $$(\min A=a)(\min A=b)\Rightarrow a=b$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Varsayalım ki $A$ kümesinin $\text{min} A=a$  ve  $\text{min }A=b$ olacak şekilde farklı iki minimumu mevcut olsun. O zaman $a \in A$ için $a \preceq b$,  $b \in A$ için $b \preceq a$ olmalıdır. Yani \[ a \preceq b \quad \text{ve} \quad b \preceq a \] yazabiliriz.

 $(X, \preceq)$ bir poset olduğundan,  antisimetri özelliği sağlanır: \[ a \preceq b \text{ ve } b \preceq  a \implies a =b. \]  olmalıdır. Ancak bu, $a \neq b$ varsayımımıza aykırıdır. Sonuç olarak $A$ kümesinin birden fazla minumumu olamaz.

 

Answer 2

Alper hocanın yanıtı gayet açık. Alper hocanınkinden pek farklı olmasa da bir kanıt da ben ekleyeyim. Sadece vereceğim kanıtın yazım tarzı farklı olacak.

 

$A$ kümesinin $\min A=a$ ve $\min A=b$ olacak şekilde birbirinden farklı iki minimumunun olduğunu varsayalım.

 

$\left.\begin{array}{rr}\min A=a\Rightarrow \forall x(x\in A\rightarrow a\preceq x) \\ \\ \min A=b\Rightarrow b\in A\end{array}\right\}\Rightarrow a\preceq b\ldots (1)$

 

$\left.\begin{array}{rr}\min A=b\Rightarrow \forall x(x\in A\rightarrow b\preceq x) \\ \\ \min A=a\Rightarrow a\in A\end{array}\right\}\Rightarrow b\preceq a\ldots (2)$

 

$(1)+(2)+(\preceq, \text{ ters simetrik})\Rightarrow a=b$

olur. Bu ise $a\neq b$ ile çelişir. Demekki minimum (varsa) bir taneymiş.