Question

$a,b,c\in\mathbb{R}$ olmak üzere $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1$ ise $a+b+c=?$

Comments

$a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow -1\leq a,b,c\leq1$

---

O zaman $1=a^3+b^3+c^3\le |a^3|+|b^3|+|c^3|\le a^2+b^2+c^2=1$ olduğundan eşitlik için $a, b, c\in \{0,1\}$ olmalı. Aşikar çözümden başka reel çözüm yok.

---

Tubitak Matematik Olimpiyadı Ortaokul 2022 yılı 1.Aşamada "$x^3+y^3=x^2+y^2=1$ koşullarını sağlayan kaç $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?" şeklinde sorulmuş.

Answer 1

$(1,0,0)$ ın permütasyonları aşikar çözüm. Bundan başka reel çözüm olmadığını gösterelim:

$a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow -1\leq a,b,c\leq1$ olduğunu biliyoruz.

$a, b, c \in (0,1)$ ise $a^3\lt a^2$ olduğundan $a^3+b^3+c^3\lt a^2+b^2+c^2$ olmalı. Çelişki.

$-1\lt a\lt 0$ ve $0\lt b, c\lt 1$ olsun. Bu durumda $b^3+c^3=1-a^3\gt 1$ fakat $b^3+c^3\lt b^2+c^2=1-a^2\lt 1$ olduğundan çelişki.

$-1\lt a,b\lt 0$ olsun. O zaman $c^3=1-(a^3+b^3)\gt 1$ olur. Yine çelişki.

Bu durumda $(1,0,0)$ ın permütasyonlarından başka  reel çözüm yok. Yani

$a+b+c=1$

Comments

Biraz daha hızlı:
$x\in[-1,+1]\setminus\{0,1\}$ ise $x^3<x^2$ olur. Öyleyse $a,b,c\in\{0,1\}$ olmalıdır.

Answer 2

$(1,0,0)$ elemanlarının permütasyonları aşikar çözüm.

$c^2=1-(a^2+b^2)$   ve  $c^3=1-(a^3+b^3)$ eşitliklerinden ayrı ayrı $c^6$ değeri bulunup eşitlenirse $$2a^6-3(1-b^2)a^4+2(b^3-1)a^3+3(1-b^2)^2a^2+(b^3-1)^2-(1-b^2)^3=0$$ şeklinde 6.dereceden bir denklem gelir.

Bu denklemde $b=1$ için $a=0$ aşikar çözümünü elde ederiz.

$$2a^6-3(1-b^2)a^4+2(b^3-1)a^3+3(1-b^2)^2a^2+(b^3-1)^2-(1-b^2)^3=0$$ eşitliğinde $b=0$ yazarsak $$a^2(2a^4-3a^2-2a+3)=0$$ ve $a=1$ değeri bir çözüm olduğundan $$a^2(a-1)(2a^3+2a^2-a-3)=0$$   $$a^2(a-1)^2(2a^2+4a+3)=0$$ denklemi elde edilir.

Bu denklemin kökleri $a_1=0$, $a_2=1$, $a_3=-1-i/\sqrt2$, $a_4=-1+i/\sqrt2$

Kompleks köklerle ilgilenmediğimizden sadece $a=0$ ve $a=1$ verilen eşitlikleri sağlar.

Buna göre $(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)$ değerlerinin çözüm olduğu görülebilir. Yani

$a+b+c=1$ olmalıdır.