$e$ sayısı neden irrasyoneldir?

Question

$e$ sayisinin irrasyonel oldugunu gosteriniz?

Comments

Güzel bir ispatı var.

---

Güzel bir şekilde de paylaşılsa..

---

Hafta sonu yazmaya çalışayım.

Answer 1

$e$ sayısını 

$$e:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$ şeklinde tanımlayalım ve 

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$

serisinin kısmi toplamlar dizisinin genel terimini 

$$t_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$$

ile gösterelim. O halde her $n\in \mathbb{N}$ sayısı için

$$0<e-t_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\ldots=\frac{1}{(n+1)!}\left [1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\ldots \right ]$$

$$\Rightarrow$$

$$0<e-t_n<\frac{1}{(n+1)!}\left [1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\ldots \right ]$$

$$\Rightarrow$$

$$0<e-t_n<\frac{1}{(n+1)!}\frac{n+1}{n}=\frac{1}{n.n!}\ldots (1)$$

eşitsizliği gerçeklenir. Şimdi $e$ sayısının bir rasyonel sayı olduğunu varsayalım. O halde $p,q\in \mathbb{N}$ olmak üzere $$e=\frac{p}{q}$$ şeklinde yazabiliriz. $(1)$ nolu eşitsizlik her $n\in\mathbb{N}$ için doğru olduğundan $$n=q$$ için de geçerlidir yani

$$0<e-t_q<\frac{1}{q.q!}$$

yani

$$0<q!(e-t_q)<\frac{1}{q}$$

elde edilir. Buradan 

$$q!(e-t_q)$$

sayısının bir doğal sayı oluğunu görmek zor olmasa gerek. Öte yandan $$q\in \mathbb{N}$$ olduğuna göre $\frac{1}{q}$ sayısı ya $1$ sayısına eşittir ya da $1$ sayısından küçük bir rasyonel sayıdır. Buna göre $e$ sayısını rasyonel olduğunu kabul etmek $0$ ile $1$ sayıları arasında bir doğal sayının bulunabileceği sonucunu gerektirir. $0$ ile $1$ sayıları arasında bir doğal sayı olmadığına göre varsayımımız yanlıştır. Yani $e$ sayısı irrasyoneldir.

Comments

İspat güzelmiş. Soru aşkınlığı üzerineydi.

---

sayısının bir doğal sayı oluğunu görmek zor olmasa gerek

$q!(e-t_q)=q(q-1)!(\frac{p}{q}-t_q)=(q-1)!p-q!t_q$

ben goremedim.. $t_q$ nasil bir sayi ki..

---

$t_q$'daki toplam elemanlari $\frac1{k^2}$ seklinde ve $k \leq q$... ayrica $q\cdot e=p$.

---

Soruyu degistirdim.   

---

$q!(e-t_q)=q(q-1)!(\frac{p}{q}-t_q)=(q-1)!p-q!t_q=(q-1)!p-q!(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{q!})$ son esitlik neden dogal sayi, simdi gordum..

---

ama bazi p,q lar icin negatif cikiyor..

---

...........................

---

1) $e$ dedigimiz sey $2,71\cdots$ diye devam eden sayi. Bu bir irrasyonel sayidir.
2) $e=\frac{p}{q}$ dedigimizde (yani bunu rasyonel sayi kabul ettigimizde) bu herhangi bir $p,q$ degil, sadece bu sarti saglayan $p,q$'lar. Yani $e=\frac 23$ oldugu soylenmedi.
3) Bu kisim icin olmasa da genel olarak, zaten aksini kabul ettigimizde, yani yanlis bir seyi kabul ettigimizde $3=5$ de bulabiliriz, $e=\frac 23$ de, ya da herhangi bi baska bir sey de. Cunku kabulumuz yanlis.. ki bu da bize celiskiyi veren sey..

---

Sorunun $e$ sayısının aşkınlığı üzerine olduğunu cevabı yazdıktan sonra fark ettim. Düşünelim bakalım.

---

o zaman en azindan ispatta $p>q$ oldugunua deginilmeli.. hatta $p>2q$

 $p,q \in  \mathbb{N}$  yazdigi icin, sanki her $p,q \in  \mathbb{N}$ icin $q!(e-t_q)$ dogal sayidir gibi anlasiliyor..

---

$q!(e-t_q)$ bu elemanin tam sayi oldugunu iddia edip -ki oyledir- celiskiye dussek olmazmi..nasil olsa 0 ile 1 arasinda hic tamsayi yok..

---

Zaten ispatta da öyle çelişkiye düşüldü.

---

Hocam ispatınız için çok teşekkürler. Ancak benim ispatta göremediğim bir iki husus var. BUnları açıklarsanız çok sevinirim.

1. neden $e= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$ olarak tanımladınız. Bu tanımını sizin yaptığınız bir sayı olupta "e"sembolü ile gösterdiğiniz bir sayı mı? Yoksa her matematikçinin "e" dendiğinde düşündüğü hani şu doğal logaritmanın tabanı olan "e" mi? Eğer ikincisi ise siz neden tanımladınız?

2. $1+\frac {1}{n+1}+\frac {1}{(n+1)^2}+...= \frac{n+1}{n}$ olduğunu biraz açarmısınız?

3 $q!(e-t_q)$ neden bir doğal sayıdır?

Teşekkürler

---

Hafta sonu yazmaya çalışayım sayın hocam.

---

$1)$  $e$ sayısını $$e:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$ şeklinde tanımlayabileceğimiz gibi $$e:=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ şeklinde de tanımlayabiliriz. Ben birincisini tercih ettim.

$2)$ Geometrik seri toplamı.

$3)$ $e=\frac pq$ ve $t_q:=\sum_{k=0}^{q}\frac{1}{k!}$ yazılır ve  $$q!(e-t_q)$$ ifadesi hesaplanırsa $$q!(e-t_q)$$ ifadesinin bir doğal sayı olduğunu görmek zor olmasa gerek.

$4)$ Gecikmeden dolayı kusura bakmayın.