Kenarlardan nokta seçerek üçgeni dört eşit alana bölme (ispat)

Question

Bir ABC üçgeninin AB, BC. AC kenarları üzerinde sırasıyla alınan X, Y, Z noktaları ile oluşturulan AXZ, BXY, CZY, XYZ üçgenlerinin alanları eşitse X, Y, Z noktalarının bulundukları kenarların orta noktaları olduğunu gösteriniz.
Ben Sinüslü alan formulunden denedim fakat yapamadım. Yardımcı olur musunuz?

Comments

A s t
B x y
C u v
 olarak ayırırsan 4sx=AB gibi eşitlikler gelecek. Bunları kullanmayı denedin mi?

---

Denemedim hocam.

.

Answer 1

Şekil eklemek isteyen olursa hayır demem.

(A)  $a=s+t$ olarak $S=2s/a$ ve $T=2t/a$ olmak üzere   $S+T=2$ olur.
(B)  $b=x+y$ olarak $X=2x/b$ ve $Y=2y/b$ olmak üzere $X+Y=2$ olur.
(C)  $c=u+v$ olarak $U=2u/c$ ve $V=2v/c$ olmak üzere $U+V=2$ olur.
olarak ayırırsak (döngüsel sıralama x,y,v,u,t,s)
$4sx=ab$
$4yv=bc$
$4tu=ac$
eşitliklerini ede ederiz.

Buradan
$2\dfrac sa=\left(2\dfrac xb\right)^{-1}$
$2\dfrac yb=\left(2\dfrac vc\right)^{-1}$
$2\dfrac uc=\left(2\dfrac ta\right)^{-1}$
yani 
$S=\dfrac1X, \qquad Y=\dfrac1V, \qquad U=\dfrac1T$
eşitlikleri sağlanır.

Taraf tarafa toplar ve düzenersek $$\left(X+\dfrac1X-2\right)+\left(V+\dfrac1V-2\right)+\left(T+\dfrac1T-2\right)=0$$ yani $$\dfrac{(X-1)^2}{X}+\dfrac{(V-1)^2}{V}+\dfrac{(T-1)^2}{T}=0$$ bize $X=V=T=1$ olduğunu ve dolayısıyla $Y=U=S=1$ olduğunu ve  $$\dfrac sa=\dfrac ta=\dfrac xb=\dfrac yb=\dfrac uc=\dfrac vc=\dfrac12$$ olduğunu verir.

Comments

Bu S+T=2 ler ve S=1/X ler için farklı çözümleri görmek için bir soru açılabilir. Daha büyük genellemesi vs.