$x^{407}-x^{301}+4x-5$ polinomun $x^3+x$ ile bölümünden kalan $T(x)$ bölüm $Q(x)$ olduğunu göre $T(1)+Q(1)$ nedir?

Question

$(x^2+1)\cdot x$ ebobları 1 olduğu için ayrı ayrı kalan bulup ekok mantığı ile bulabilir miyiz?

Comments

$x^{407}-x^{301}+4x-5=(x^3+x)Q(x)+T(x)$ oldugunu biliyoruz degil mi? $x=0,\, x=\mp1$ aldigimizda birseyler gelebilir..

---

Ben şöyle düşünüyorum bölen polinomu çarpanlarına ayırırsak iki polinomun ebobunun 1 geldiğini ve ayrı ayrı bölüp çarpım şeklinde yazıp ekok mantığı ile  en küçük polinomu çıkarırsak kalan bulunmaz mı? matematik bilmediğimden kusura bakmayın teşekkürler

---

Verilenlerin tek fonksiyon, $-5$i saymaya gerek yok, o kalana düşer her türlü.

---

Böyle bişey varmı? Ebob ekok ile ilgili söylediğim şey

---

Karmaşık kökle çözdüm fakat polinomlar bölme işlemi gibi değil yani sayı değil hiç alakası yok mu?

---

Hata nerde diyorum. $-1$ sıfırlamıyor ki. (Zaten -1 sıfırlasa 1 de sıfırlar.)

Dediğim yöntem üzerinden gitmek istiyorum.
$P(x)=x^{407}-x^{301}+4x$
$q(x)=x^3+x$
$t(x)=T(x)+5$ olsun.

Elimizde $P(x)=q(x)Q(x)+t(x)$ var.

Tek fonksiyon gereği$-P(x)=-q(x)Q(-x)+t(-x)$ yani $P(x)=q(x)Q(-x)-t(-x)$ olur.

Buradan $-t(1)=P(-1)=-4$ yani $T(1)=4-5=-1$ gelir.

Ayrıca $P(1)=2Q(1)+t(1)$ ve $P(1)=4$, $t(1)=4$ olduğundan $Q(1)=0$ gelir.

---

Olay kalanı bulmak. tek çift mantığı ile yaklaşınca T(x)=ax-5 ve önemsiz olsa da Q(x) çift.
Kısacası olay a'yı bulmak. (bunun için de x=i alınabilir ya da x^2+1 polinom bölmesi yapılabilir)
Buradan ilerleyince Doğan Dönmez'in yoluna denk/benzer geliyor.
Sadece ilk başta T hakkında bir bilgi edinmiş oluyoruz.

Answer 1

Biraz benzer olsa da nüanssal olarak ufak bir fark olduğunu düşünerek cevaba aktarıyorum.

Tek çift mantığı üzerinden gidersek $T(x)=ax-5$ olmalı.
Bu durumda $x^{406}-x^{300}+4-a$ polinomu $x^2+1$ ile tam bölünmeli.
$x=i$ için $-1-1+4-a=0$ eşitliği gelir. Bu da bize $a=2$ olduğunu verir.

Kısacası $T(1)=-3$ ve $-1=2Q(1)+T(1)$ gereği $Q(1)=1$ gelir.

Comments

Teşekkür ederim

---

Ben kompleks sayı kullanmadan yapmak istedim. Böyle elbette daha kısa oluyor.

---

$i$ koymak yerine mod olarak $x^2=-1$ de yapılabilir. Diğer cevaptaki $(x^2)^{203}$ gibi.
Farklı kısmı T için formu yazmak.

---

$x^2+1$ değil de daha yüksek dereceden olsa kalandaki terimler daha aza inecek. Matrissel olarak işler yarıya inecek. Zaten kopleks eşlenik ya da reel negatiflik de bunu yapar. Fakat işlemlere girmeden kalanın formunu, buradaki gibi, sabit terim hariç tek dereceye indirgeyebiliriz.

Ayrıca kompleks ikinci dereceden çiftler $x^2+a^2$ şeklinde olur. Özel bir durum.

---

Onu da ilk çözümümde yazmıştım ama ($x^2 $ yerine $-1$ yazınca) örtülü olarak kompleks sayı kullanmış oluruz diye düşünerek sildim.

---

Polinom bölmesi komplekse girmiyor. Sonuçta x^2=-1 değil. Polinom modu olarak öyle.

Answer 2

Şöyle yapılabilir:
$x^{407}=x\cdot x^{406}=x\cdot (x^2)^{203}=x\cdot((x^2+1)-1)^{203}=(x^3+x)Q_1(x)-x$

$x^{301}=x\cdot x^{300}=x\cdot (x^2)^{150}=x\cdot((x^2+1)-1)^{150}=(x^3+x)Q_2(x)+x$

$x^{407}-x^{301}+4x-5=(x^3+x)(Q_1(x)-Q_2(x))-2x+4x-5$ den $T(x)=2x-5$ (ve $Q(x)=Q_1(x)-Q_2(x)$) bulunur.

$T(1)=-3$ olur.

$x^{407}-x^{301}+4x-5=(x^3+x)Q(x)+T(x)$ de $x=1$ yazılırsa,

$-1=2Q(1)-3$ ve buradan da $Q(1)=1$ bulunur $Q(1)+T(1)=-2$ olur.

Comments

Teşekkür ederim