İntegralde Kütle Hesabı

Question

Arkadaşlar kütle hesabı sorusu. Cevap $4\pi$ brim küp

Akşama kadar cevabı öğrenmem gerek yardımcı olursanız sevirim

Resim yollanmayacağını bilmiyordum. Düzeltiyorum.

$z= \sqrt{x^2 + y^2}$ konisi ile $z=2$ düzlemi tarafından sınırlanan cismin yoğunluğu her noktada o noktanın $xoy$ düzlemine olan uzaklığı kadardır. Cismin Kütlesini bulunuz?

Comments

http://matkafasi.com/faq linkinden, sorularimi nasil sormaliyim kismini okumanizi tavsiye ederim.

Answer 1

Elinize sağlık, güzel düzenlenmiş sorunuz.

Öncelikle ufak bir düzeltme: Yoğunluk, mesâfe kadar olamaz! Olsa olsa bu iki niceliğin sayısal değerleri aynıdır. Zîrâ yoğunluğun birimi $\mbox{gr/cm}^3$, uzunluğun ise bilindiği üzere, $\mbox{cm}$. Bunu şöyle söylemek doğru olur: 

Verilen koninin yoğunluğu $\rho$, $A$, birimi $\mbox{gr/cm}^4$ ve değeri $1$ olan orantı katsayısı olmak üzere, koninin tepe noktasından olan uzaklık $z$'ye $$\rho(z)=A\cdot z=z$$ şeklinde bağlıdır.  

Gelelim çözüme. Koni gâyet simetrik bir cisim olduğundan, işimiz basit olacak. 

1) Şimdi, koniyi $x\circ y$ düzlemine paralel olacak şekilde dilimleyelim. Dilimleme yeterince sık ise, elde edilen dilimler silindire yakındır (!).

2) $x\circ y$ düzleminden $z$ kadar uzaktaki dilime odaklanalım ve onun kütlesini yazmaya çalışalım:

3) Kütle, hacim ve yoğunluğun çarpımı olduğundan, bu dilimdeki $\Delta M$ kütlesini, $$\Delta M=\rho(z)\Delta V$$ şeklinde yazabiliriz. Bu çok genel bir ifâdedir.

4) $z$ konumunda silindirin yarıçapı $R=\sqrt{x^2+y^2}$ yüksekliği ise $\Delta z$ olur. Hacim ise $\pi R^2 h$ meşhûr formülü hatırlanırsa, $\Delta V=\pi (x^2+y^2) \Delta z$ şeklinde bulunur. 

5) Bunlar (4) ile birleştirilip (3) maddesinde yerine konursa, $$\Delta M=\rho(z)\pi (x^2+y^2) \Delta z=\pi  (x^2+y^2) z\Delta z$$  

6) $z(x,y)$ fonksiyonu bilindiğinden, $$\Delta M=\pi z^3\Delta z$$ bulunur. Yeterince sık dilimleme yaparsak, yâni, dilimlerin sayısını çok arttırırsak, $\Delta$ ifâdelerini $d$ diferansiyelle değiştirmek câizdir. 

7) Bu ifâdeyi, $z=0$'dan $z=2$ düzlemine kadar integre edeceğiz, yâni silindirciklerin kütlelerini toplayacağız: $$M=\int dM=\int_0^2\pi z^3\,dz=\pi\frac{z^4}{4}\Bigg|_0^2=4\pi$$ bulunur.

Comments

Öncelikle çok teşekkür ederim, peki, bunu 2 katlı integral yardımı ile nasıl yapabiliriz?

Answer 2

Yukarıdaki bazı şeyleri tekrar etmeye gerek yok. $$M=\int \rho(x,y,z) dxdydz$$ tanımdır. Şimdi, problemin simetrisine uygun olarak silindirik koordinat takımına geçersek, $$dV=rdrd\theta dz$$ olacaktır. İntegral: $$M=\int \rho(x,y,z) dxdydz=\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{z=0}^{z=2}\int_{r=0}^{r=z} z\cdot rdrd\theta dz$$ alınır. Burada, $r$ integral sınırına dikkat! Çünkü, $r$ koordinatını $0$'dan başlayarak arttırırsanız, koninin yan yuüzeyini kesersiniz. Bu nokta, hangi $z$ yüksekliğinde hareket ettiğinize göre geişikl değerler alır. Bu değerleri de koninin yüsey denklemi belirler: $z=\sqrt{x^2+y^2}=r$, yâni, $z=r$ imiş!

Artık integraller alınsın: $\theta$ integrali kolay: $2\pi$.

$$M=2\pi\int_{z=0}^{z=2}\int_{r=0}^{r=z} z\cdot rdrdz$$

$r$ integrali de kolay, sınırlar da konursa,

$$M=2\pi\int_{z=0}^{z=2}z\frac{z^2}{2}dz$$ Son olarak da $z$ integrali, 

$$M=\pi \frac{z^4}{4}\Bigg|_0^2=4\pi.$$ Bakın, iki değil 3 katlı integralle çözdük :) 

Comments

Çok teşekkür ederim sağolun:)

---

Umarım anlaşılırdır.