Question

$[0,1]$ aralığından seçilen iki (alt) aralığın kesişme olasılığı kaç olur?

(Şu sorunun $n=2$ durumu)

Comments

$[a,b]$ araligindaki $a$ ve $b$ sayilarini hangi dagilima gore seciyoruz ?

bu sorunun cevabi nasil seçtigime gore degismeyecek mi ?

---

Rasgele iki sayı seçip, küçüğüne $a$, büyüğüne $b$ diyoruz (Ben dağılım falan bilmem :-)).

---

İki aralık oluşturacağımız için aralıktan $x_1<x_2<x_3<x_4$  olacak şeklinde rastgele $4$ sayı seçelim. Bu sayıları $a,b,c,d$ sayıları ile rastgele eşleştirelim ve toplam  $4!=24$ adet olan $abcd, abdc, bacd,...$ dizilişlerine bakarak kesişen aralıkları sayalım.

---

son harekete gerek yok cevap 2/3 oluyor.
$x_1$ i kullanarak 3 aralik yazabiliriz
$[x_1 ,x_2]$ araligi ve $[x_3,x_4]$ kesismez

$[x_1 ,x_3]$ araligi ve $[x_2,x_4]$ kesisir

$[x_1 ,x_4]$ araligi ve $[x_2,x_3]$ kesisir

He bir de sectigimiz $4$ sayinin herhangi iki tanesinin ayni olma olasiligi sifir kabul ettik (Neden ?).

Dagilim dirac delta kabul etsek cevap degisir ama bence. Yani rastgele sayi uretecimiz ya $0.5$ ya da $0.7$ veriyor olsun. O zaman cevap $1$

---

İlk seçimime göre $0$ diye düşündüm. Dağılım düzgün olsun diye ikinci bir hareket yaptım.

---

Bu soruyu bir internet sitesinde gördüm, hoşuma gitti. Sorarken, daha genel şeklinin, sitede, 2015 de (@yavuzkiremici tarafından) sorulduğunu ama cevaplanmadığını gördüm.

Soru, sayılar seçilirken, her sayının seçilme olasılığının aynı (düzgün dağılım deniyor sanırım) varsayılarak sorulmuş (Sayılardan ikisinin aynı olması olasılığı, bu varsayıma göre, $0$ oluyor).

Soruyu gördüğüm internet sitesindeki cevap da, @alpercay ın (ama bitirmemiş, @eloi tamamlamış/yazmış) yorumundaki gibi idi, basit ve güzel.

Ben, analiz kullanarak, daha uzun (ve sıkıcı) çözümünü yazacağım.

---

Bu sorunun cevabi $x_1,x_2,x_2,x_4$ u $[0,1]$ den duzgun dagilimla secmeseydik de

$[x_1,x_2], [x_3,x_4]$ seklinde $[0,1]^2$ den duzgun dagilimla secse idik, bir sey degisir miydi ?

---

$[0,1]^2$ (kare) yerine ucgen secilip araliklarin duzgun olmasi da saglanabilir saniyorum

---

Bence aynı şey olurdu. Benim çözümüm de zaten bu şekilde olacak.

---

Su videodaki gibi bir durumdan endiselendim ama sanirim bosuna

---

O videoyu ben de görmüştüm. İlginç bir durum.

---

Farklılık, "rasgele" sözcüğünün değişik yorumlarından kaynaklanıyor.

---

Matematica ile simulasyon.

 

n = 100000;
pts = Table[IntervalIntersection[Sequence @@ Interval /@ RandomReal[{0, 1}, {2, 2}]], n];

(Length@pts - Count[pts, Interval[]])/n

$66713/100000=0.66713$

Answer 1

Bir aralık seçmeyi, $[0,1]$ aralığından sıra ile, iki sayı (her sayının seçilme olasılığı eşit olmak üzere) seçip, onlardan küçük olanı sol uç, büyük olanı sağ uç noktası olması şeklinde kabul ediyorum (ikisi eşit ise, tek nokta olarak kabul edeceğiz). Sıra ile, $[0,1]$ aralığından iki sayı seçmek, birim kareden ($ [0,1]\times [0,1]$) bir nokta seçmek ile aynı şeydir.
 Soruda, aralıkların kesişmeme olasılığını bulmak daha kolay olacak.
 İlk seçilen sayıya $ a $, ikinci seçilen sayıya $ b $ diyelim. Önce, bu sayıların hangisinin büyük olduğuna bağlı olarak, diğer aralığın, bu aralığı kesmeme olasılığını bulacağız. 
 Önce, $ a\leq b $ durumunu düşünelim, aralığımız $ [a,b] $ olur. Diğer aralığın, bunu kesmemesi için, ya her iki uç (sayısı/noktası) da $ a $ dan küçük, ya da her iki uç da $ b $ den büyük olmalıdır. Bu da, seçilen 3. ve 4. sayıların oluşturduğu noktanın aşağındaki şekildeki beyaz bölgenin (iki ayrık karenin birleşimi) içinde olması demektir.

Bu durumun olasılılığı, beyaz bölgenin alanı olan $ a^2+(1-b)^2 $ ye eşittir.
 Eğer $ a\geq b $ ise, kesmeme olasılığın $ b^2+(1-a)^2 $ ye eşit olacağı aynı şekilde görülür.
 Öyleyse, aralıkların kesişmeme olasılığı:
$ f(x,y)=\begin{cases}x^2+(1-y)^2&x\leq y\\y^2+(1-x)^2&y\leq x\end{cases} $ için $ \int_0^1\int_0^1f(x,y)\,dy\,dx=\frac13 $ olur.
Öyleyse, bu iki aralığın kesişme olasılığı $ \frac23 $ dür.