Detaylı maksimal (minimal) eleman tanımına bu linkten bakılabilir.
Tanım: (X,⪯) poset, A⊆X ve x∈A olsun.
x, A'nın maksimal elemanı:⇔(∀y∈A)(x⪯y⇒x=y)
M(A):={x∈A|(∀y∈A)(x⪯y⇒x=y)}
A kümesinin maksimumu mevcut olsun. maxA nesnesinin A kümesinin bir maksimal elemanı olduğunu gösterelim.
y∈A ve maxA⪯y olsun. Amacımız maxA=y olduğunu göstermek.
y∈A⇒y⪯maxAmaxA⪯y}?1⇒maxA=y
olur. O halde maxA, A kümesinin bir maksimal elemanı yani maxA∈M(A)…(1)
Şimdi de A kümesinin maxA elemanından başka bir maksimal elemanının olmadığını gösterelim.
z∈M(A) ve z≠maxA olduğunu varsayarsak
z∈M(A)⇒(∀y∈A)(z⪯y⇒z=y)maxA∈A}?2⇒z=maxA elde edilir ki bu da z≠maxA ile çelişir …(2)
O halde (1),(2)⇒M(A)={maxA} elde edilir.
NOT: ?1 ve ?2 gerekçelerini okura bırakalım.