Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
351 kez görüntülendi
$\{x|\sin (x \text{ radyan})+\sin(x\text{ derece})=2\}$ kümesi boşküme midir?
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 351 kez görüntülendi
$x$ nerden?..
$x\in\mathbb{R}$ olsun.
Bence $\mathbb C$ olsun.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Sinüs fonksiyonu sınırlı, yani $|\sin\theta | \leq 1$ olduğundan dolayı $$\sin x + \sin\left(\frac{2\pi x}{360}\right)=2 \iff  \sin x = 1 \text{  ve  } \sin\left(\frac{2\pi x}{360}\right) = 1 $$

yazabiliriz. Böylece $x= \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ ve $\dfrac{2\pi x}{360} = \dfrac{\pi}{2} + 2t\pi$ olacak şekilde $k,t \in \mathbb {Z} $ bulmalıyız. Birinci eşitliğe göre $x$ irrasyoneldir, ikinci eşitliğe göre $x = 90 + 360 t$ biçiminde bir tam sayıdır. Dolayısıyla denklemin çözüm kümesi boştur.
(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
@lokman gökçe hocanın çözümü bana göre benim çözümümden daha sade ve daha güzel.
Radyan ve dereceli bir sinüs sorusu daha
Sağolun @murad.ozkoc hocam. Ben de sizin çözümünüze bakarak fikir aldım :)
2 beğenilme 0 beğenilmeme
$$\sin (x \text{ radyan}) + \sin(x \text{ derece})=2$$$$\Rightarrow$$$$\sin x + \sin\left(\frac{2\pi x}{360}\right)=2$$$$\Rightarrow$$$$2\cdot \sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{360}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi x}{360}\right)=2$$$$\Rightarrow$$$$\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{360}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi x}{360}\right)=1$$$$\Rightarrow$$$$\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{360}\right) = \sec \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi x}{360}\right)$$ $a:=\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{360}$   ve   $b:=\frac{x}{2}+\frac{\pi x}{360}$  dersek  
$$\sin a=\sec b$$ olur. Her $y\in\mathbb{R}$ için $$|\sin y|\leq 1$$  ve  $$|\sec y|\geq 1$$ olduğudan $$\sin a=\sec b=1$$ olup olmadığını incelememiz gerekir. Bundan sonrası artık kolay. Bundan sonrasını da okuyucuya bırakalım.
(11.4k puan) tarafından 
20,240 soru
21,759 cevap
73,401 yorum
2,067,220 kullanıcı