Hem farkı hem de çarpımı tam kare olan doğal sayı ikilileri bulunuz

Question

$m-n$ ve $mn$ tam kare olacak şeklinde sonsuz çoklukta,  $(m,n)\in\mathbb{N}^+\times\mathbb{N}^+$ sıralı ikilileri bulunuz.
(Kolay bir soru!)

Comments

$m=n$ olabiliyor mu?

---

Bu ikililerden sonsuz tane oldunu söylemişsiniz. Bende şunu merak ettim. Bunlar ne kadar çok? Bu ikililerin yoğunluğu için ne diyebiliriz?

---

$x\in\mathbb{N}^+, x^2-1=ay^2\ (a,y\in\mathbb{N}^+)$ ise
$m=ax^2,\ n=a$ bir çözüm oluyor. Bunların çoğu Pisagor üçlüsü olmuyor.

---

@Elif Şule Kerem, yoğunluğunu belirlemek için hepsini bulmamız gerekir.

---

$p^4 + 4q^2 = a^2$ eşitliğini sağlayan her $p,q,a \in \mathbb{N^{+}}$ için

$m = \frac{2q^2}{a - p^2} , n = \frac{a - p^2}{2}$ olarak aldığımızda özellikler sağlanır fakat en başta verdiğim eşitliğe sahip $p,q,a$ sayılarının sonsuz çoklukta olması konusunda kesin bir bilgiye sahip değilim hocam

---

Cevap yazarken elektrik kesintisi oldu. Üzücü bir durum.

$(s,t)=1$ ve $(d=d_1d_2)$ karesiz olarak $(d_1,d_2)=1$ ve $D$ rastgele olmak üzere $u+v=s^2d_1$, $u-v=t^2d_2$  olmak üzere ikililer bulunuyor. ($u v $  biri çift biri tek, ikisi de tekseye bakınca da benzer geliyor)

Burada $m=u^2dD^2$ ve $n=v^2dD^2$

Answer 1

$k\in \mathbb N^+$ bir tam kare olmak üzere $(5^2k,4^2k)$ ikilileri.

Comments

Daha fazlasını da kolayca bulabilirsin eminim :-)

---

Hayat bana istenenden fazlasını yapmamam gerektiini öğretti :-)

---

Hepsini bulmak çok mu zor olurdu acaba?

---

(18,2) ikilisi de var.

EK: Daha genel olarak: $x\in\mathbb{N}^+, x^2-1=ay^2\ (a,y\in\mathbb{N}^+)$ ise
$m=ax^2,\ n=a$ bir çözüm oluyor. Bunların çoğu Pisagor üçlüsü olmuyor.

Answer 2

$m,n\in\mathbb{N}^{\geq 0}$ olmak üzere $((m^2+n^2)^2,4m^2n^2)$ ikilileri.

 

İLAVE: Doğan hocamın da yorumunda belirttiği gibi bir de $m,n\in\mathbb{N}^{\geq 0}$ olmak üzere $((m^2+n^2)^2,(m^2-n^2)^2)$ ikilileri var.

Comments

Pisagor üçlüleri yani.

---

Bunlar dışında başka çözümler var mı acaba?

---

$((m^2+n^2)^2,(m^2-n^2)^2)$ de var :-)

---

Evet hocam onlar da var. Onları atlamışım :-)