Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
828 kez görüntülendi
(5,1) noktasından geçen ve 9x^2+25y^2=225 denklemine teğet olan doğruyu bulunuz.
Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 828 kez görüntülendi
Sen neler düşündün/denedin @farketmez?
Elips denklemini x^2/25+y^2/9=1 şeklinde yazdım. Daha sonra türevini aldım. y'=-9x/25y buldum. Bilmediğim noktaya (x,y) dedim. O noktayla bildiğim noktayı kullanarak -9x/25y=y-1/x-5 gibi bir denklem elde ettim. Buradan çıkan -9x^2+45y^2=25y^2+9x^2 eşitliğini ilk eşitliği kullanarak bir adım daha ilerletmeye çalıştım. y=(225-45x)/25 buldum. Bulduğum y'yi ilk denklemde yerine yazarak x lerin birini -40/17, diğerini 5 buldum.  Karşılık gelen y leri de 225/17 ve 0 olarak buldum. Daha sonra bulduğum -40/17 ve 225/17yi -9x/25y yani türevli denkleme yerleştirdim. Sonuçta bir denklem buldum ama aradığım denklem değildi...
Elipse dışındaki bir noktadan 2 teğet çizilebilir.

9x25y=y1x5 tamam.  

Ama daha sonra, 9x2+45y2=25y2+9x2 yi nasıl elde ettiğini anlamadım.

(elipsin şeklini düşünürsen, x=0 çözümü doğru. Ama diğer çözüm x=4017 doğru olamaz. x>0 olmalı)
Soruyu çözebilmek için y=mx+n doğrusu ile x2a2+y2b2=1 elipsinin teğet olma şartı bulunursa (ortak çözüm denkleminin diskriminantı 0 olmalı) a2m2+b2=n2 oluyor.

(5,1) noktası ve yukardaki eşitlik kullanılarak 1=5m+n ve 25m2+9=(15m)2 denklemi elde ediliyor. Buradan m ve n değerleri bulunabilir. Ancak buradan teğetlerden sadece birinin denklemi geliyor. Elipsin bir köşesi (5,0) olduğundan diğer teğetin x=5 doğrusu olduğu görülüyor.
İkinize de çok teşekkür ederim. Önce Doğan hocama yazayım. İçler dışlar çarpımı yaptım ama buraya yanlış geçirmişim. Siz deyince farkına vardım. Ama bakarak geçirdiğim için gidişatı etkilemedi. x=5 ve y=0 bulmuştum ben ama... Aşağıda alpercay hocam da öyle bulmuş. Hocam bir yerlerden baka baka yapmaya çalıştım. Sonunda sonuca çok yaklaşmışım ama ne yaptığımı bilmeden çözmek hiç hoş olmuyor.
Alpercay hocam, a2m2+b2=n2 ifadesini nasıl bulduk. x ve y'ler nereye gitti acaba... Sonraki adımları da anlamadım. Sadece, bulduğunuz denklemlerden m ve n'yi çekip y=mx+n şeklinde yazınca y=4x/5+5 buldum. Grafiğini çizdiğimde aradığımı bulmuş oldum. Lakin baştan buraya kadar nasıl geldik, biraz temelden alarak anlatma şansınız var mıdır?
x2a2+y2b2=1 elips denkleminde y yerine y=mx+n yazınca x değişkenine bağlı 2.derece bir denklem geliyor; yani ortak çözüm denklemi b2x2+a2(mx+n)2a2b2=0 şeklinde.

Doğru elipsi farklı 2 noktada keserse bu denklemin diskriminantı sıfırdan büyük, kesmezse sıfırdan küçük, teğet olursa da 0 olmalı. Hatam yoksa ortak çözüm denklemi  x2(b2+a2m2)+x(2mna2)+a2n2a2b2=0 şeklinde. Bunun diskirimiantı Δ=0 teğetlik şartı olur.
9x25y=y1x5 eşitliğinden 9x2+25y245x25y=0 denklemi geliyor. Bu da elips denklemi ama nasıl kullanabiliriz bir fikrim yok.
9x2+25y245x25y=0 ve 9x2+25y2=225 den

45x+25y=2259x+5y=45 bulunur.

25y2=(459x)2 elipsin denkleminde yerine koyarak:

9x2+(459x)2=225x2+(153x)2=25 ve

10x290x+200=0x29x+20=0(x5)(x4)=0

x=5 veya x=4 bulunur.
Teşekkürler Doğan hocam. Böylece teğetin değme noktalarını hesaplayabiliyoruz.
20,312 soru
21,867 cevap
73,586 yorum
2,850,426 kullanıcı