Elipse teğet olayı

Question

(5,1) noktasından geçen ve 9x^2+25y^2=225 denklemine teğet olan doğruyu bulunuz.

Comments

Sen neler düşündün/denedin @farketmez?

---

Elips denklemini x^2/25+y^2/9=1 şeklinde yazdım. Daha sonra türevini aldım. y'=-9x/25y buldum. Bilmediğim noktaya (x,y) dedim. O noktayla bildiğim noktayı kullanarak -9x/25y=y-1/x-5 gibi bir denklem elde ettim. Buradan çıkan -9x^2+45y^2=25y^2+9x^2 eşitliğini ilk eşitliği kullanarak bir adım daha ilerletmeye çalıştım. y=(225-45x)/25 buldum. Bulduğum y'yi ilk denklemde yerine yazarak x lerin birini -40/17, diğerini 5 buldum.  Karşılık gelen y leri de 225/17 ve 0 olarak buldum. Daha sonra bulduğum -40/17 ve 225/17yi -9x/25y yani türevli denkleme yerleştirdim. Sonuçta bir denklem buldum ama aradığım denklem değildi...

---

Elipse dışındaki bir noktadan 2 teğet çizilebilir.

$\frac{-9x}{25y}=\frac{y-1}{x-5}$ tamam.  

Ama daha sonra, $-9x^2+45y^2=25y^2+9x^2 $ yi nasıl elde ettiğini anlamadım.

(elipsin şeklini düşünürsen, $x=0$ çözümü doğru. Ama diğer çözüm $x=\frac{-40}{17}$ doğru olamaz. $x>0$ olmalı)

---

Soruyu çözebilmek için $y=mx+n$ doğrusu ile $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ elipsinin teğet olma şartı bulunursa (ortak çözüm denkleminin diskriminantı 0 olmalı) $$a^2m^2+b^2=n^2$$ oluyor.

$(5,1)$ noktası ve yukardaki eşitlik kullanılarak $$1=5m+n$$ ve $$25m^2+9=(1-5m)^2$$ denklemi elde ediliyor. Buradan $m$ ve $n$ değerleri bulunabilir. Ancak buradan teğetlerden sadece birinin denklemi geliyor. Elipsin bir köşesi $(5,0)$ olduğundan diğer teğetin $x=5$ doğrusu olduğu görülüyor.

---

İkinize de çok teşekkür ederim. Önce Doğan hocama yazayım. İçler dışlar çarpımı yaptım ama buraya yanlış geçirmişim. Siz deyince farkına vardım. Ama bakarak geçirdiğim için gidişatı etkilemedi. x=5 ve y=0 bulmuştum ben ama... Aşağıda alpercay hocam da öyle bulmuş. Hocam bir yerlerden baka baka yapmaya çalıştım. Sonunda sonuca çok yaklaşmışım ama ne yaptığımı bilmeden çözmek hiç hoş olmuyor.

---

Alpercay hocam, $a^2*m^2+b^2=n^2$ ifadesini nasıl bulduk. x ve y'ler nereye gitti acaba... Sonraki adımları da anlamadım. Sadece, bulduğunuz denklemlerden m ve n'yi çekip $y=mx+n$ şeklinde yazınca $y=-4x/5+5$ buldum. Grafiğini çizdiğimde aradığımı bulmuş oldum. Lakin baştan buraya kadar nasıl geldik, biraz temelden alarak anlatma şansınız var mıdır?

---

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ elips denkleminde $y$ yerine $y=mx+n$ yazınca $x$ değişkenine bağlı 2.derece bir denklem geliyor; yani ortak çözüm denklemi $$b^2x^2+a^2(mx+n)^2-a^2b^2=0 $$ şeklinde.

Doğru elipsi farklı 2 noktada keserse bu denklemin diskriminantı sıfırdan büyük, kesmezse sıfırdan küçük, teğet olursa da $0$ olmalı. Hatam yoksa ortak çözüm denklemi  $$x^2(b^2+a^2m^2)+x(2mna^2)+a^2n^2-a^2b^2=0$$ şeklinde. Bunun diskirimiantı $\Delta=0$ teğetlik şartı olur.

---

$\dfrac{-9x}{25y}=\dfrac{y-1}{x-5}$ eşitliğinden $$9x^2+25y^2-45x-25y=0$$ denklemi geliyor. Bu da elips denklemi ama nasıl kullanabiliriz bir fikrim yok.

---

$9x^2+25y^2-45x-25y=0$ ve $9x^2+25y^2=225$ den

$45x+25y=225 \rightarrow 9x+5y=45$ bulunur.

$25y^2=(45-9x)^2$ elipsin denkleminde yerine koyarak:

$9x^2+(45-9x)^2=225\rightarrow x^2+(15-3x)^2=25$ ve

$10x^2-90x+200=0\rightarrow x^2-9x+20=0\rightarrow (x-5)(x-4)=0$

$x=5$ veya $x=4$ bulunur.

---

Teşekkürler Doğan hocam. Böylece teğetin değme noktalarını hesaplayabiliyoruz.