Question

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$  olacak şekildeki $a$  ve  $b$ rasyonel sayılarını bulunuz.

Comments

$a$ ve $b$ için tam sayı olma gibi bir kısıtlama var mı? Yoksa, sonsuz çoklukta çözüm bulabiliriz. Örneğin, $b=0$ için $a=\sqrt[9]{2+\sqrt{5}}$.

---

Rasyonel sayı olma şartını ekledim Lokman hocam.

---

Diğer soruya bu şekilde de yazılabiliyor diyecektim. Fakat bu kabulleri nasıl yapabileceğimiz ve kısmı da var.

---

Bir de sağdaki küp fazla değil mi?

---

Evet, hemen düzeltiyorum.

Answer 1

Şu eşitlik iş görüyor: $$8(2+\sqrt5)=16+8\sqrt5=1+3\cdot \sqrt5^2+3\sqrt5+\sqrt5^3=(1+\sqrt5)^3.$$ Aynı zamanda $$8(2-\sqrt5)=16-8\sqrt5=1+3\cdot \sqrt5^2-3\sqrt5-\sqrt5^3=(1-\sqrt5)^3$$ eşitliği de sağlanıyor.

Answer 2

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$  olacak şekilde $a$  ve  $b$ rasyonel sayıları bulunsun. Her iki yanın küpü alınıp düzenlemeler yapılarak  $$a^3+15ab^2=2$$   $$3a^2b+5b^3=1$$  $$a^3-10b^3+15ab^2-6a^2b=0$$ denklemleri elde edilir. Her iki yan   $b^3$ ile bölünürse $$(a/b)^3-6(a/b)^2+15(a/b)-10$$  ve   $\dfrac{a}{b}=x$  denirse $$x^3-6x^2+15x-10=(x-1)((x^2-5x+10)=0$$ elde edilir. Denklemin reel kökü $x=1$ olacağından $$\dfrac{a}{b}=1$$ olmalıdır, yani $a=b$ dir. Buna göre $$16a^3=2$$ ve $a=b=\dfrac{1}{2}$ bulunur.

Benzer olarak $\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=a-b\sqrt{5}$ eşitliği çözülseydi yine $a=b=\dfrac{1}{2}$ bulunurdu.