Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
265 kez görüntülendi
$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$  olacak şekildeki $a$  ve  $b$ rasyonel sayılarını bulunuz.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 265 kez görüntülendi
$a$ ve $b$ için tam sayı olma gibi bir kısıtlama var mı? Yoksa, sonsuz çoklukta çözüm bulabiliriz. Örneğin, $b=0$ için $a=\sqrt[9]{2+\sqrt{5}}$.
Rasyonel sayı olma şartını ekledim Lokman hocam.
Diğer soruya bu şekilde de yazılabiliyor diyecektim. Fakat bu kabulleri nasıl yapabileceğimiz ve kısmı da var.
Bir de sağdaki küp fazla değil mi?
Evet, hemen düzeltiyorum.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Şu eşitlik iş görüyor: $$8(2+\sqrt5)=16+8\sqrt5=1+3\cdot \sqrt5^2+3\sqrt5+\sqrt5^3=(1+\sqrt5)^3.$$ Aynı zamanda $$8(2-\sqrt5)=16-8\sqrt5=1+3\cdot \sqrt5^2-3\sqrt5-\sqrt5^3=(1-\sqrt5)^3$$ eşitliği de sağlanıyor.
(25.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme
$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$  olacak şekilde $a$  ve  $b$ rasyonel sayıları bulunsun. Her iki yanın küpü alınıp düzenlemeler yapılarak  $$a^3+15ab^2=2$$   $$3a^2b+5b^3=1$$  $$a^3-10b^3+15ab^2-6a^2b=0$$ denklemleri elde edilir. Her iki yan   $b^3$ ile bölünürse $$(a/b)^3-6(a/b)^2+15(a/b)-10$$  ve   $\dfrac{a}{b}=x$  denirse $$x^3-6x^2+15x-10=(x-1)((x^2-5x+10)=0$$ elde edilir. Denklemin reel kökü $x=1$ olacağından $$\dfrac{a}{b}=1$$ olmalıdır, yani $a=b$ dir. Buna göre $$16a^3=2$$ ve $a=b=\dfrac{1}{2}$ bulunur.

Benzer olarak $\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=a-b\sqrt{5}$ eşitliği çözülseydi yine $a=b=\dfrac{1}{2}$ bulunurdu.
(2.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,205 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,722 kullanıcı