$1/a+1/b+1/c=8/15$

Question

$a, b, c$ sayma sayıları için $$1/a+1/b+1/c=8/15$$ ise $c$ sayısının en büyük değeri kaçtır?

Comments

Payda gereği biri $5$ olmak zorunda. $1/x+1/y=1/3$ için ise benzer şekilde tek çözüm $x=y=6$. Bu nedenle cevap $665$ olur. (Soruyu yanlış anlamışım, abc üç basamaklı sandım.)

---

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{930}=\dfrac{8}{15}$ tir. $c$'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri $930$ dur. Soruda $c$ nin üç basamaklı olduğunun verilmesine gerek yoktur. Bu değerleri üreten işlem detaylarını daha sonra paylaşabilirim.

---

8/15, k/(2k-1) formunda bu nedenle 2, 4k-2,(4k-2)(4k-1) maksimumluk için iyi bir şeçim.
k/(nk-1) için ise n, n(nk-1), (n(nk-1))(n(nk-1)+1) iyi bir seçim.
k/(nk-a) için ise n ile başlamak iyi gibi vs
böyle düşüncelerim var. Burasını detaylandırıp çözebilirim gibi duruyor.
Tabi bu maksmimum değeri bulmak için.

Bir de maksimum değerin basamak sayısı yüksek ise daha düşük basamaklı maksimum nasıl bulunur, bu soruya nasıl cevap verebiliriz?

---

Bu biraz bir şeyden küçük en büyük değer ne sorusu ki, tüm sayılar için cevap vermek tüm çözümleri de bilmek demek gibi.

Answer 1

Yanıt: $\boxed{930}$

 

$a$ ve $b$ nin pozitif tam sayı değerlerini olabildiğince küçük seçersek $c$ yi büyütmüş oluruz. Simetriden dolayı, genelliği bozmaksızın $a\leq b \leq c$ kabul edebiliriz. $a=1$ denklemi sağlamaz. $a=2$ alırsak $\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{8}{15} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{30}$ olur. $b>30$ olmalıdır. $b=31$ verirsek $\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{30} - \dfrac{1}{31} = \dfrac{1}{930}$ olup $c_\max=930$ elde edilir.

Answer 2

Çözüm için $$1/a=1/(a+1)+1/a(a+1) $$ algoritması kullanalım. Bu eşitlik kullanılarak $(0,1]$ aralığındaki her rasyonel sayıyı $n\ge 1$ tam sayısı için $1/n$ şeklindeki kesirlerin(birim kesir) toplamı olarak en az bir şekilde temsil edebiliriz. O zaman $$1/15=1/16+1/15.16$$ şeklinde yazılabilir. $8$ ile genişletirsek $$8/15=1/2+1/30$$ olur. Birim kesir sayısını $3$ yapmak için algoritmayı $1/2$ sayısına tekrar uygularsak $$8/15=1/3+1/6+1/30$$ elde ederiz fakat birim kesirleri isteneni sağlamadığından algoritmayı $1/30$ sayısına uygulayarak $$8/15=1/2+1/31+1/930 $$ bulunur.