Problemi çözen bazı örnek çizimler buldum, bunları paylaşabilirim.
$\color{red}{ \text{Çözüm: }}$ $n=2k$ çift tam sayı olsun ($k\geq 2$). İndislerdeki toplama çıkarma işlemleri modülo $n$ üzerinde olmak üzere, çizgenin köşeleri $A_1A_2\dots A_n$ düzgün çokgeninin köşeleri olsun.
$\color{blue}\bullet$ $m=2t$ ($t\geq 1$) çift tek sayı iken $A_i$ köşesini kendinden önceki ilk $t$ tane köşeye, kendinden sonraki ilk $t$ tane köşeye birleştiririz. Yani $A_i$ noktasını, $\{ A_{i-1}, A_{i-2}, \dots, A_{i-t}, A_{i+1}, A_{i+2}, \dots, A_{i+t} \}$ noktalarıyla birleştirerek $\deg(A_i)= 2t = m$ elde ederiz. Böylece, verilen aralıktaki her $m$ çift sayısı için uygun konfigürasyon bulunmuş olur.
$n=10$ ve $m=4$ için örnek çizim aşağıdadır.
$\color{blue}\bullet$ $m=2t+1$ ($t\geq 1$) tek sayı iken $A_i$ köşesini kendinden önceki ilk $t$ tane köşeye, kendinden sonraki ilk $t$ tane köşeye birleştiririz. Ayrıca $n$ çift sayı olduğundan, düzgün $n$-gen de her köşenin merkeze göre simetrisi bir başka köşedir. $A_i$ noktasının merkeze göre simetrisi $A_{i+k}$ dir. $A_i$ noktasını $A_{i+k}$ noktasına da birleştirelim. Yani $A_i$ noktasını, $\{ A_{i-1}, A_{i-2}, \dots, A_{i-t}, A_{i+k}, A_{i+1}, A_{i+2}, \dots, A_{i+t} \}$ noktalarıyla birleştirerek $\deg(A_i)= 2t +1= m$ elde ederiz. Böylece, verilen aralıktaki her $m$ tek sayısı için uygun konfigürasyon bulunmuş olur.
$n=10$ ve $m=5$ için örnek çizim aşağıdadır.
