Toplamın Limiti

Question

Matematik ÖABT için uygun düzeyde bir soru daha yazalım:

 

$\color{red}{\textbf{Problem:} }$ $n$ pozitif tam sayılarda değer alan bir değişken ve $k$ pozitif tam sayı olan bir sabit ise
$$\color{darkblue}{ \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^k + 2^k + 3^k+ \cdots + n^k}{n^{k+1}} }$$
limiti için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{k+1}{5k-1} \qquad\textbf{c)}\ \left| \dfrac{k^2-7k}{18k-6} \right| \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{k+1} \qquad\textbf{e)}\ \text{Limit yoktur}$

 

 

 

$\color{blue}{\textbf{Notlar:} }$

$\color{green}{\bullet}$  $k$'ya özel değerler vererek seçeneklerden gitmeyi zorlaştırmak için, seçenekler biraz çeldirici olsun istedim.

$\color{green}{\bullet}$ Uzun süredir sitede eksikliği görülen renk paneli sorununu $\LaTeX$ ile nasıl aşabileceğimizi de göstermiş olalım. Renkli kısımların üzerine sağa tıklayarak nasıl yazıldığını görebilirsiniz.

Answer 1

$\begin{array}{rcl}\lim_{n\to \infty} \dfrac{1^k + 2^k + 3^k+ \cdots + n^k}{n^{k+1}} & = & \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1^k}{n^k} + \dfrac{2^k}{n^k}+\dfrac{3^k}{n^k}+ \cdots + \dfrac{n^k}{n^k}\right) \\ \\ & = & \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left(\left(\dfrac{1}{n}\right)^k + \left(\dfrac{2}{n}\right)^k+\left(\dfrac{3}{n}\right)^k+ \cdots + \left(\dfrac{n}{n}\right)^k\right) \\ \\ & = & \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\dfrac{i}{n}\right)^k \\ \\ & = & \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1-0}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(0+i\cdot\dfrac{1-0}{n}\right)^k \\ \\ & \overset{?}{=} & \int_{0}^{1}x^kdx \\ \\ & = & \dfrac{x^{k+1}}{k+1}|_{x=0}^{x=1} \\ \\ & = & \dfrac{1}{k+1}\cdot\end{array}$

Answer 2

Tümevarım ile üst toplamın
$n$'ye bağlı,
$(k+1).$ dereceden,
baş katsayısı $1/(k+1)$ olan
bir polinoma eşit olduğu gösterilebilir.
Bu da sonucu verir.

Tümevarım adımı için:
$(x+1)^{k+1}-x^{k+1}$ teleskopik ifadesinin
$x$'e bağlı, $k$. dereceden bir polinom olduğu
bilgisini kullanmak ve bunları $x=1,..,n$ için toplamak yeterli.

Comments

Teşekkürler Sercan hocam. Bunu da ayrı bir başlık altında soralım. (Ali Nesin hocamızın konu hakkında çok güzel bir video dersi burada vardır.)

---

https://matkafasi.com/3045/#a3897 son kısım için, ilgilenenler, bu cevaba bakabilir.

Answer 3

Bence de en rahat yol, Murad hocamın yaptığı gibi limiti belirli integrale dönüştürmektir. Şıklardan ilerlemeye çalışırsak şöyle oluyor:

 

Toplam formüllerini kullanırsak

$k=1$ için  $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1 + 2 + 3+ \cdots + n}{n^{2}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)/2}{n^{2}} = \dfrac{1}{2}$. Bu bize $\textbf{(b), (c), (d)}$ seçeneklerinin yanıt olabileceğini gösterir.

 

$k=2$ için  $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2}{n^{3}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)(2n+1)/6}{n^{3}} = \dfrac{1}{3}$. Bu bize halen $\textbf{(b), (c), (d)}$ seçeneklerinin yanıt olabileceğini gösterir.

 

$k=3$ için  $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}{n^{4}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2(n+1)^2/4}{n^{4}} = \dfrac{1}{4}$. Bu bize $\textbf{ (c), (d)}$ seçeneklerinin yanıt olabileceğini gösterir. Gördüğünüz gibi $\textbf {(c)}$ şıkkındaki ifade çok dirayetli çıktı ve $k=1,2,3$ için

$$\left| \dfrac{k^2-7k}{18k-6} \right| = \dfrac{1}{k+1}$$

olmaktadır. 

$k=4$ için $1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = \dfrac1{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$ olduğunu kullanmak gerekecek. (Bunu ezberlemiyorum ama ispatlayabilirim.) Buna göre, $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4}{n^{5}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30}{n^{5}} = \dfrac{1}{5}$ olur. $\textbf{(c)}$ şıkkında $k=4$ için $\dfrac{2}{11}$ elde edildiğinden artık onun da dirayeti kırıldı. Cevap $\textbf{(d)}$ olmalıdır.

 

 

$\color{red} {\textbf{ Not:}}$ $k>0$ tam sayı verilmişti ama bunun problemde bir Red Herring olduğunu belirtmekte fayda var. Yani $k=0$ da alınabilir. Bu halde,  $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{1^0 + 2^0 + 3^0 + \cdots + n^0}{n^{1}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n} = 1$ olur. $k=0$ için $1$ sonucu veren seçenek sadece $\textbf{(d)}$ dir.