Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
561 kez görüntülendi
n=1sinnn serisi mutlak yakınsak mıdır?

(Burada n radyan)
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 561 kez görüntülendi

Degildir. Cunku harmonik seri iraksar ? 

 

Yanlis dusundum sanirim  ama iraksadigina emin gibiyim

Aslında ilginç bir şey değil. Biraz analiz tekniği kullanmak yeterli.
Ya icime yatmiyor ama soyle birsey deneyecegim

 

100|sinn|n dizisinin elemanlari 1n dizisindeki elemanlarindan buyuk. Harmonik seri iraksadigina gore, 100|sinn|n da iraksar. Bastaki katsayi olan 100 den de kurtulabiliriz sanirim
poff bu da yanlis cozum oldu dusunup cevaplamak lazim tahmin etmek yerine. Nedense harmonik seri ile kiyaslamak istiyorum hep
Harmonik seri ile kıyaslamak doğru fikir, ama bu serinin her terimini değil, aradan "büyük" olanları seçip yapabiliriz (ben öyle yaptım).

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Önce şunu gösterelim:
    Her nZ için |sinn|,|sin(n+1)|,|sin(n+2)| sayılarından en az biri  12 den büyük  olur.
    (R de) (n1,n+3) aralığında (uzunluğu=4>π olduğu için) en az bir 2k+12π(kZ) sayısı vardır.
    (π3<2 olduğu için) 2k+12π±π3 sayılarından en az biri  (n1,n+3) aralığındadır.
    (π3>1 olduğu için)
    2k+12ππ3(n1,n+3) ise m(2k+12ππ3,2k+12π) olacak şekilde;
    2k+12π+π3(n1,n+3) ise m(2k+12π,2k+12π+π3) olacak şekilde
    bir mZ vardır.

(2k+12ππ3,2k+12π+π3) aralığında |sinx|>12 olduğundan)
    Her iki durumda da, n1<m<n+3 ve |sinm|>12 olur. İddiamız kanıtlanmıştır.
    
    Şimdi serimize dönelim:
    
    Yukarıdaki önermeden, (her k1 için):    
    |sin(3k2)|3k2+|sin(3k1)|3k1+|sin(3k)|3k13k(|sin(3k2)|+|sin(3k1)|+|sin(3k)|)>13k12=161k

elde edilir. Bu eşitsizlikler (k=1,2,,n için) yazılıp, taraf tarafa toplandığında:    
     |sin1|1+|sin2|2++|sin(3n)|3n>16(1+12++1n) bulunur.
     1+12++1n, harmonik serinin n nci kısmi toplamı olup, (pozitif terimli) harmonik serinin ıraksak oluşundan, (1+12++1n)n=1 dizisi sınırsızdır.
     Yularıdaki eşitsizlikten dolayı, n=1|sinn|n serisinin kısmi toplamlar dizisi de sınırsız, dolayısıyla kısmi toplamlar dizisi ıraksak olur.

Bu da, n=1|sinn|n serisinin ıraksak olduğunu gösterir.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,289 soru
21,830 cevap
73,517 yorum
2,619,229 kullanıcı