Önce şunu gösterelim:
Her n∈Z için |sinn|,|sin(n+1)|,|sin(n+2)| sayılarından en az biri 12 den büyük olur.
(R de) (n−1,n+3) aralığında (uzunluğu=4>π olduğu için) en az bir 2k+12π(k∈Z) sayısı vardır.
(π3<2 olduğu için) 2k+12π±π3 sayılarından en az biri (n−1,n+3) aralığındadır.
(π3>1 olduğu için)
2k+12π−π3∈(n−1,n+3) ise m∈(2k+12π−π3,2k+12π) olacak şekilde;
2k+12π+π3∈(n−1,n+3) ise m∈(2k+12π,2k+12π+π3) olacak şekilde
bir m∈Z vardır.
(2k+12π−π3,2k+12π+π3) aralığında |sinx|>12 olduğundan)
Her iki durumda da, n−1<m<n+3 ve |sinm|>12 olur. İddiamız kanıtlanmıştır.
Şimdi serimize dönelim:
Yukarıdaki önermeden, (her k≥1 için):
|sin(3k−2)|3k−2+|sin(3k−1)|3k−1+|sin(3k)|3k≥13k(|sin(3k−2)|+|sin(3k−1)|+|sin(3k)|)>13k12=161k
elde edilir. Bu eşitsizlikler (k=1,2,…,n için) yazılıp, taraf tarafa toplandığında:
|sin1|1+|sin2|2+⋯+|sin(3n)|3n>16(1+12+⋯+1n) bulunur.
1+12+⋯+1n, harmonik serinin n nci kısmi toplamı olup, (pozitif terimli) harmonik serinin ıraksak oluşundan, (1+12+⋯+1n)∞n=1 dizisi sınırsızdır.
Yularıdaki eşitsizlikten dolayı, ∑∞n=1|sinn|n serisinin kısmi toplamlar dizisi de sınırsız, dolayısıyla kısmi toplamlar dizisi ıraksak olur.
Bu da, ∑∞n=1|sinn|n serisinin ıraksak olduğunu gösterir.