$2^{p+2}-1=pq$ denklemini asal sayılarda çözünüz.

Question

$p$ ve $q$  asal sayılar olmak üzere $2^{p+2}-1=pq$ denklemini sağlayan farklı $(p,q)$ asal sayı ikililerini bulunuz.

Denemeyle $(7,73)$ ikilisinin sağladığını görebiliyorum. Başka da çözüm yok diye düşünüyorum fakat nasıl gösterebilirim aklıma birşey gelmedi.

Answer 1

Denklemden $p$ nin (ve $q$ nun) tek olduğunu görüyoruz.

Öyleyse, Küçük Fermat Teoreminden, $2^{p-1}\equiv1\mod p$ olur.

Denklemden $2^{p+2}\equiv1\mod p$ olur.

Öyleyse $2^{p+2}=2^3{2^{p-1}}\equiv1\mod p$ den, $2^3\equiv1\mod p$ bulunur.

$8\equiv1\mod p$ den, $p\mid7$ olur. $p>1$ olduğu için, $p=7$ bulunur. Daha sonra da $q=73$ elde edilir.

Soruda, $q$ nun asal olmasının bir önemi yokmuş.

Comments

Çok teşekkür ederim Sayın hocam.