Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
188 kez görüntülendi
$p$ ve $q$  asal sayılar olmak üzere $2^{p+2}-1=pq$ denklemini sağlayan farklı $(p,q)$ asal sayı ikililerini bulunuz.

Denemeyle $(7,73)$ ikilisinin sağladığını görebiliyorum. Başka da çözüm yok diye düşünüyorum fakat nasıl gösterebilirim aklıma birşey gelmedi.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (44 puan) tarafından  | 188 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Denklemden $p$ nin (ve $q$ nun) tek olduğunu görüyoruz.

Öyleyse, Küçük Fermat Teoreminden, $2^{p-1}\equiv1\mod p$ olur.

Denklemden $2^{p+2}\equiv1\mod p$ olur.

Öyleyse $2^{p+2}=2^3{2^{p-1}}\equiv1\mod p$ den, $2^3\equiv1\mod p$ bulunur.

$8\equiv1\mod p$ den, $p\mid7$ olur. $p>1$ olduğu için, $p=7$ bulunur. Daha sonra da $q=73$ elde edilir.

Soruda, $q$ nun asal olmasının bir önemi yokmuş.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Çok teşekkür ederim Sayın hocam.
20,219 soru
21,752 cevap
73,354 yorum
1,988,192 kullanıcı